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Niveau terminale
parallélisme de vecteurs dans un espace 3D
Posté par Iplaymaths
Bonsoir,
Voici l'exercice:
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé (𝑂, 𝚤, 𝚥, 𝑘), on donne :
𝑎 (2, 4, 5) 𝑏 (3, 4, 2) 𝑐 (𝑥, 𝑦,−2)
a) Déterminer x et y pour que les vecteurs 𝑎 et 𝑐 soient parallèles.
b) Les vecteurs 𝑎 , 𝑏 et 𝑐 sont-ils alors linéairement dépendants ? Justifier sans calcul.
Pour le a), j'utilise le produit scalaire, en sachant que si les vecteurs sont paralleles, ils forment soit un angle de 0 ou de 180 degres. Comme cos0=1 et cos180=-1, j'essaye de resoudre l'equation :
2x+4y-10=((45)^0,5)*(x^2+y^2+4)^0.5)) et 2x+4y-10=-((45)^0,5)*(x^2+y^2+4)^0.5))
Cependant, je me heurte a des problemes car lorsque je developpe, j'obtient une equation du type 4x^2+8xy-20x+8xy+16y^2-40y-20x-40y+100
Pour le deux, je compte verifier si le vecteur b est parallele a un des ces vecteurs et conclure si ils sont lineairement dependants ou pas.
Si vous pourriez me donner un coup de pouce avec le a), ce serait genial.
Merci de votre aide
Bonsoir,
si l'énoncé était lisible peut être, moi je ne vois que des gribouillis :
copie d'écran
Citation :
Bonjour,
Je suis desole pour l'ennonce, certains elements etaient en italique:
Voici l'exercice:
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé (O, i, j, k), on donne :
a (2, 4, 5) b (3, 4, 2) c (x, y,−2)
a) Déterminer x et y pour que les vecteurs a et c soient parallèles.
b) Les vecteurs a , b et c sont-ils alors linéairement dépendants ? Justifier sans calcul.
Merci
les vecteurs a et c seront parallèles (alias colinéaires) ssi on peut trouver un nombre réel k tel que c = k.a
tu écris tout ça avec les coordonnées et tu résouds (3 équations, 3 inconnues x,y,k)
autre variante : tu écris que le produit vectoriel a^c est nul. (si tu as vu) ça va plus vite.
b) si a et c sont parallèles, il existe k avec c = k.a
les vecteurs a,b,c linéairement dependants voudrait dire qu'il existe u,v,w réels avec
u.a + v.b + w.c = (u+wk).a + v.b = 0
en d'autre termes il suffit de vérifier si a et b sont ou non parallèles.
si je comprends bien, il suffit de faire
z(c)=z(a)*k -> k=-5/2
x=k*x(a)=-5
y=k*y(a)=-10
Le vecteur c(-5,-10,-2) est dont parallele au vecteur a.
pour le b), nous avons:
x(a)/x(b)=2/3
y(a)/y(b)=4/4=1
z(a)/z(b)=5/2=2,5
les vecteurs a et b ne sont donc pas paralleles d'ou on peut conclure que les vecteurs a, b et c sont lineairement independants car on ne peut obtenir le vecteur b a partir de a et c.
Aie je bien raison?