Bonjour,


2) Le périmètre P de EFGH = EF+FG+GH+HE or EF=HG et FG=EH car EFGH est un parrallélogramme donc P=2*(FG+HG)

Avec le théorème de Thalès, tu peux montrer que FG = 1/2 AC (je te laisse le soin de le démontrer proprement)
De même, tu peux montrer que HG= 1/2 DB

Donc, finalement, P=2*(1/2 AC + 1/2 DB)=AC+DB qui est constant ...

Sauf erreur,
bon courage,
ManueReva

ah ok merci! c'est très gentil de ta part
mais c'est quoi la ptite étoile * que tu met après le 2 ?

Simplement une question par simple curiosité:

Comment avez vous prouvé que EFGH est un parallélogramme ?

Merci beaucoup pour votre explication !

Je pensais que cétait facile à démontrer mais je n'y arrive tjrs pas!
Pouvez vous maider svp?
  

re-bonsoir,

(le * c'est pour dire "multiplié")
en fait, je suis allée un peu trop vite dans ma démonstration (je crois que je n'avais pas fait le bon dessin) et je me rends compte qu'il y a un souci.
En effet, si on prend J très proche de D, I va alors etre très proche de B, le périmètre de EFGH va donc être très proche de 2*BD.
Aussi, si on prend J très proche de 0, I va alors être très proche de O aussi, le périmètre de EFGH va donc être très proche de 2*AC.
Il me semble donc que le périmètre ne peut pas être constant, quelquesoit la position de I et J.
Bizarre, bizarre ....

Je me remet à plancher dessus et je te réponds demain

bonsoir
démontrer que EFGH est un parrallélograme par thales :
démontre que EJ/OA = DJ/DO dans ADO fait pareil pour EJ FI et GI dans leur triangle respectifs finalement EJ=JH= IF= GI= DJ x OA/DO

2/ ensuite il faut montrer que EF = IJ par trop dificile en pensant que FI = EJ donc EFIJ est un parralélograme.......etc

Ecrivons ensuite le périmètre
4xDJxOA/DO + 2(2DO-2DJ)= 4DJ(OA/DO-1)+4DO
donc la question est fausse c'est évident comme le remarque mnuereva très justement n'aurais tu pas oublié de nous dire que OA = OD c'est à dire que c'est un rectangle ton parrallélograme (au moins à la troisième question ????)

Je crois que j'avais mal compris la question, on ne demande pas à ce que le périmètre soit constant, mais que la formule du périmètre de EFGH est toujours la même quelquesoit la position de I et J.

On se place dans le cas où I [OB] (J [OD])
On se place dans le triangle AOB, et on utilise le théorème de Thalès. On a alors :
, donc Or BI=BO-OI, donc :

On se place dans le triangle COB, et on utilise le théorème de Thalès. On a alors : (par le même raisonnement)
. Or OC=AO car O est le milieu de [AC].
Donc

Finalement, , donc
(car AC=2AO).

Ensuite, montrons que EFIJ est un parrallélogramme. On a (JE)//(FI) car elles sont toutes les deux parrallèles à (AC). De plus, on vient de montrer que
En étudiant le triangle DOA, on a
or DO=OA et OJ=OI, donc .
EFIJ est donc un quadrilatère avec deux côtés parrallèles et de même mesure, EFIJ est donc un parrallélogramme. On a donc EF=IJ=2OI.

Le périmètre de EFGH est donc . Ceci est une expression qui est valable quelquesoit la position de I et J et qui ne dépend que de la distance OI.

Voici une démonstration qui n'est peut être pas la plus rapide, j'avoue qu'il est tard et cela m'embêtait de ne pas trouver.

En espérant ne pas m'être trompée,
Bon courage,
ManueReva

Est ce que vou^s pouvez mieux expliquer comment vous prouvez que EFGH est un parallélogramme grace au théorème de Thalès (question 1).

Merci pour vos explications !

Pour Alkéos :
On a  (EH)//(AC) et (FG)//(AC) donc (EH)//(FG)

Montrons que EH=FG :

* Dans le triangle AOD, on a (EJ)//(AO),
donc EJ/AO = DJ/DO
or DJ = DO-OJ donc EJ/AO = (DO-OJ)/DO
conclusion EJ = (DO-OJ)/DO * AO
* Dans le triangle COD, on a (JH)//(OC),
donc JH/OC = DJ/DO
or DJ = DO-OJ donc JH/OC = (DO-OJ)/DO
conclusion JH = (DO-OJ)/DO * OC
Or OC=OA car O est le milieu de [AC]
Donc JH = (DO-OJ)/DO * OA = EJ

Conclusion : EH = EJ+JH= 2*(DO-OJ)/DO * OA

* Dans le triangle AOB, on a (FI)//(AO),
donc FI/AO = BI/BO
or BI = BO-OI donc FI/AO = (BO-OI)/BO
conclusion FI = (BO-OJ)/BO * AO
* Dans le triangle COB, on a (IG)//(OC),
donc IG/OC = BI/BO
or BI = BO-OI donc IG/OC = (BO-OI)/BO
conclusion IG = (BO-OI)/BO * OC
Or OC=OA car O est le milieu de [AC]
Donc IG = (BO-OI)/BO * OA = FG

Conclusion : FG = FI+IG= 2*(BO-OI)/BO * OA

Or DO = BO car O est le milieu de [BD]
De même, OI=OJ
Donc FG = 2*(DO-OJ)/DO * 0A = EH.

Conclusion : le quadrilatère EFGH a deux côtés parallèles et de même longueur, c'est donc un parrallélogramme.

ah ok moi aussi j'ai fait ma même erreur;je pensais que cétait le périmètre qui devait être constant!
En tout cas merci de votre aide c'est très très gentil de votre part!

pour bebedoc
  Non je ne me suis pas trompé
mais puisque O est le centre du parallélogramme ABCD alors AO=OD et BO=OC.

ManueReva,je n'ai pas compris pourquoi avez vous mis que (EH)//(AC) et
(FG)//(AC) pour démontrer que EFGH est 1 parallélogramme .
Dans ma figure ils ne st pas parallèle!

Citations de l'énoncé :
"La parallèle à la droite (AC),contenant I,coupe le segment AB en F et le segment BC en G" : La parrallèle à la droite (AC) passe donc par les points I, F et G. Cela veut donc dire que (FG)//(AC) non ?
"La parralèle à la droite (AC),contenant J,coupe le segment
AD en E et le segment CD en H" : cela veut dire que (EH)//(AC)

Ah ok!!!
J'ai en fait très mal fait ma figure.
Merci de votre aide!

missilia un parrallélograme n'a pas ces diagonales de même longueur, donc DO=OB et AO = OC certes parce que les diagonales d'un parrallélograme se coupent en leurs mlieu mais DO n'est pas égale à AO ! (cela serait un rectangle) et là le problème devient trop facile !

si EH est bien parralléle à AC c'est dans l'énoncé ? manuereva t'as fait un super démo.......

a revoir tes questions je me demande si tu n'as pas fait le parallélograme ABDC ?? sur ta figure

Non j'ai pas fait ABDC!
Mais c'est vrai ke ta raison ,1 parallélogramme n'a pas ces diagonales de même longueur!!!

Donc ce que ma dit MAnuereva est faux???

où est- ce que j'ai dit que AO=DO=OB=OC ? il ne me semble pas l'avoir écrit.
j'ai dit que AO=OC et que OB=OD, non ?

Manuereva t'as fait une belle démo pour la question 1/ par contre c'est vrai que pour le périmètre il utilise DO=AO (sory je l'avais pas vu) prends plutôt pour le 2/ ma démostration comme idée de rédaction : étaye et vérifie ma formule du périmètre (le défaut de ma soluce c'est que c'est un peu long car je dois prouver EFGH parallélograme et que je sens bien qu'il doit y avoir un truc simple en utilisant les transformations du plan !!)

manureva :

couper coller
or DO=OA et OJ=OI, donc ..........

Ah oui, c'est vrai, c'est un mauvais copié collé, mais bon, j'ai remplacé après DO par BO et pas DO par OA (comment retomber sur ses pattes )

OK
je compren mieu maintenant!
remerci!