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Parallélogramme de Wittenbauer

Posté par
Kali_1608
31-05-08 à 17:35

Bonjour! J'ai un DM à faire et je suis complètement perdu! S'il vous plaît aidé moi à résoudre ce problème. Je fais afficher un figure pour mieux illustrer le problème, elle n'est pas exactement correcte, mais elle aide a mieux visulaiser le problème. Voici l'énoncer:


Soit ABCD un quadrilatère convexe. On partage chacun des côtés [AB] , [BC] , [CD] , [DA] en trois segments égaux et on joint les points ainsi obtenus deux à deux comme sur la figure.

Questions:

1) Montrer que PQRS est un parallélogramme

2) On considère l'isobarycentre G des points A, B, C et D; le centre O du parallélogramme PQRS et le point d'intersection I des diagonales [AC] et [BD].
Montrer que O, I et G sont alignés.


Voici quelques clés:

- Thalès dans les triangles ABC, ACD...
- IP= 2/3IA+2/3IB , IQ = ? , IP+IQ+IR+IS=?  (ce sont tous des vecteurs)

Parallélogramme de Wittenbauer

Posté par
Kali_1608
re : Parallélogramme de Wittenbauer 31-05-08 à 17:54

s'il vou plait!! aidez-moi!!  

Posté par
pgeod
re : Parallélogramme de Wittenbauer 31-05-08 à 18:12

bonsoir,

1) Montrer que PQRS est un parallélogramme

(PS) / à (BD) d'après la réciproque de Thalès
(QR) / à (BD) d'après la réciproque de Thalès

donc (PS) // (QR)

idem pour les autres côtés // à (AC)

et donc PQRS est un quadrilatère dont les côtés opposés sont //
c'est donc un parallélogramme.

...

Posté par
Kali_1608
re : Parallélogramme de Wittenbauer 31-05-08 à 18:28

merciiiii!!! j'ai bien compris maintenant!
mais je me bloque un epu sur la deuxième question. J'ai acune idée comment résoudre!

Posté par
Kali_1608
re : Parallélogramme de Wittenbauer 31-05-08 à 18:51

j'ai besoin d'aide pour le n°2

Posté par
pgeod
re : Parallélogramme de Wittenbauer 31-05-08 à 18:53

utilise les clefs qui sont données.
C'est bien le début du raisonnement.

IP = 2/3IA + 2/3IB (d'après Thalès et règle du parallélogramme)
de la même manière :
IQ = 2/3IB + 2/3IC
IR = 2/3IC + 2/3ID
IS = 2/3ID + 2/3IA

ajoute membre à membre, et donc :

IP + IQ + IR + IS = 4/3 (IA + IB + IC + ID) [1]

or G est l'isobarycentre des points A, B, C et D
<=> M, 4 MG = MA + MB + MC + MD

or O est le centre du parallélogramme PQRS
<=> O est l'isobarycentre des points P, Q, R et S
<=> M, 4 MO = MP + MQ + MR + MS

donc la relation [1] s'écrit ........

...

Posté par
Kali_1608
re : Parallélogramme de Wittenbauer 31-05-08 à 18:58

J'ai pas très bien compris, mais je vois que dans :

IP + IQ + IR + IS = 4/3 (IA + IB + IC + ID) [1]

on a une reduction. non??

Posté par
pgeod
re : Parallélogramme de Wittenbauer 31-05-08 à 19:01

Citation :
on a une reduction. non??


J'ai pas très bien compris.
Quel est le sens de la question ?

...

Posté par
Kali_1608
re : Parallélogramme de Wittenbauer 31-05-08 à 19:04

non, oubliez. J'avais juste eu l'idée d'une réduction quelque part. J'ai tord.

Posté par
pgeod
re : Parallélogramme de Wittenbauer 31-05-08 à 19:06

ok

Posté par
Kali_1608
re : Parallélogramme de Wittenbauer 31-05-08 à 19:11



j'ai vraimente des grandes difficultés pour comprendre le n°2

Posté par
pgeod
re : Parallélogramme de Wittenbauer 31-05-08 à 19:15


De ce que je viens d'écrire das mon posté le 31/05/2008 à 18:53,
jusqu'où comprends-tu ?

...

Posté par
Kali_1608
re : Parallélogramme de Wittenbauer 31-05-08 à 19:19

en faite j'ai presque rien comris :S
j'ai pas compris pourquoi on ajoute membre à membre et ce qui est en bas.

Posté par
pgeod
re : Parallélogramme de Wittenbauer 31-05-08 à 19:24


On a ces relations :

IP = 2/3IA + 2/3IB
IQ = 2/3IB + 2/3IC
IR = 2/3IC + 2/3ID
IS = 2/3ID + 2/3IA

maintenant, à partir de ces relations, on calcule :

IP + IQ + IR + IS = ....

en remplaçant IP, IQ, IR et IS par leur valeur.

...

Posté par
Kali_1608
re : Parallélogramme de Wittenbauer 31-05-08 à 19:30

en remplaçant IP, IQ, IR et IS par leur valeur on obtient:

2/3IA + 2/3IB + 2/3IB + 2/3IC + 2/3IC + 2/3ID + 2/3ID + 2/3IA

soit,

4/3IA + 4/3IB + 4/3IC + 4/3ID

Posté par
Kali_1608
re : Parallélogramme de Wittenbauer 31-05-08 à 19:31

alors: 4/3 (IA + IB + IC + ID)

Posté par
pgeod
re : Parallélogramme de Wittenbauer 31-05-08 à 19:32


oui, c'est ça. et donc on e arie à la suite :

IP + IQ + IR + IS = 4/3 (IA + IB + IC + ID) [1]

or G est l'isobarycentre des points A, B, C et D
<=> M, 4 MG = MA + MB + MC + MD

or O est le centre du parallélogramme PQRS
<=> O est l'isobarycentre des points P, Q, R et S
<=> M, 4 MO = MP + MQ + MR + MS

donc la relation [1] s'écrit ........

...

Posté par
Kali_1608
re : Parallélogramme de Wittenbauer 31-05-08 à 19:37

c'est lá oú je me bloque complètement, j'ai rien compris au chapitre du barycentre, alor je me bloque.

Posté par
Kali_1608
re : Parallélogramme de Wittenbauer 31-05-08 à 19:37

je vois pas un rapport

Posté par
pgeod
re : Parallélogramme de Wittenbauer 31-05-08 à 20:41


ok je détaille :

IP + IQ + IR + IS = 4/3 (IA + IB + IC + ID) [1]

or G est l'isobarycentre des points A, B, C et D
<=> M, 4 MG = MA + MB + MC + MD
...... et ce qui est vrai pour tout M, l'est également si M = I
...... et donc : 4 IG = IA + IB + IC + ID

or O est le centre du parallélogramme PQRS
=> O est l'isobarycentre des points P, Q, R et S
<=> M, 4 MO = MP + MQ + MR + MS
...... et ce qui est vrai pour tout M, l'est également si M = I
...... et donc : 4 IO = IP + IQ + IR + IS

donc la relation [1] s'écrit :
4 IO = 4/3 (4 IG)
<=> IO = 4/3 IG
=> IO et IG sont colinéaires
=> les points I, O et G sont alignés.

...

Posté par
Kali_1608
re : Parallélogramme de Wittenbauer 31-05-08 à 23:02

ahhh maintenant je vois le rapport!

Merci beaucoup pgeod!


Posté par
pgeod
re : Parallélogramme de Wittenbauer 01-06-08 à 13:43

Posté par
B2L
Parallélogramme de Wittenbauer 03-11-08 à 21:56

Ah! Merci beaucoup à vous tous! J'ai exactement le même DM à faire, et personnelement je n'y arrivais pas du tout. Merci!

Posté par
pgeod
re : Parallélogramme de Wittenbauer 03-11-08 à 21:59

Posté par
B2L
re : Parallélogramme de Wittenbauer 04-11-08 à 12:40

SVP, pourquoi IP = 2/3IA + 2/3IB?

Posté par
sossow
Parallélogramme de Wittenbauer 05-11-08 à 18:07

D'abord avec thalès. Soit A2 le point d'intersection de (PS) et (AC) et P2 le point d'intersection de (AB) et (PS).
On applique thalès ds les triangles AP2A2 et ABI.
On a: AP2/AB = AA2/AI = P2A2/BI = 1/3
        Donc IA2 = 2/3 IA

Soit B2 le point d'intersection de (BD) et (PQ)
On prouve de même que IB2 = 2/3 IB

IP = IB2 + B2P (relation de chasles)
Or PQRS et un parallélogramme donc B2P = IA2

IP = IB2 + IA2
<=> IP = 2/3 IA + 2/3 IB

Voila j'espère que j'ai été assez claire!

Posté par
B2L
re : Parallélogramme de Wittenbauer 05-11-08 à 19:56

Svp, c'est urgent. Pourquoi 4 MG = MA + MB + MC + MD?

Posté par
B2L
re : Parallélogramme de Wittenbauer 05-11-08 à 20:07

Juste comme ça; ce ne serait pas plutôt 4 MG = 4/3MA + 4/3MB + 4/3MC + 4/3MD?

Posté par
B2L
re : Parallélogramme de Wittenbauer 05-11-08 à 20:35

Et donc 3MG = MA + MB + MC + MD?

Posté par
poul
re : Parallélogramme de Wittenbauer 09-11-10 à 18:35

Bonjour, je suis nouveau et j'ai vu que vous avez réussi a faire l'exo est-ce que pourriez vous m'aidez a faire mon devoir maison il est du même type en privé s'il vous plaît de me contacter en laissant un petit message.

Merci

Posté par
Hassounet22
Probleme de dm 19-10-15 à 17:31

Moi IA+IB+IC+ID=3IO et il faut démontrer

Posté par
Priam
re : Parallélogramme de Wittenbauer 19-10-15 à 19:33

Egalité de 19h56 :
La point G étant l'isobarycentre des points A, B, C et D, on a
GA + GB + GC + GD = 0
Il suffit de décomposer selon Chasles ces quatre vecteurs pour faire apparaître G, et on aboutit à l'égalité vectorielle en cause.



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