Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Parallélogramme de Wittenbauer
Bonjour! J'ai un DM à faire et je suis complètement perdu! S'il vous plaît aidé moi à résoudre ce problème. Je fais afficher un figure pour mieux illustrer le problème, elle n'est pas exactement correcte, mais elle aide a mieux visulaiser le problème. Voici l'énoncer:
Soit ABCD un quadrilatère convexe. On partage chacun des côtés [AB] , [BC] , [CD] , [DA] en trois segments égaux et on joint les points ainsi obtenus deux à deux comme sur la figure.
Questions:
1) Montrer que PQRS est un parallélogramme
2) On considère l'isobarycentre G des points A, B, C et D; le centre O du parallélogramme PQRS et le point d'intersection I des diagonales [AC] et [BD].
Montrer que O, I et G sont alignés.
Voici quelques clés:
- Thalès dans les triangles ABC, ACD...
- IP= 2/3IA+2/3IB , IQ = ? , IP+IQ+IR+IS=? (ce sont tous des vecteurs)
bonsoir,
1) Montrer que PQRS est un parallélogramme
(PS) / à (BD) d'après la réciproque de Thalès
(QR) / à (BD) d'après la réciproque de Thalès
donc (PS) // (QR)
idem pour les autres côtés // à (AC)
et donc PQRS est un quadrilatère dont les côtés opposés sont //
c'est donc un parallélogramme.
...
merciiiii!!! j'ai bien compris maintenant! 
mais je me bloque un epu sur la deuxième question. J'ai acune idée comment résoudre!
utilise les clefs qui sont données.
C'est bien le début du raisonnement.
IP = 2/3IA + 2/3IB (d'après Thalès et règle du parallélogramme)
de la même manière :
IQ = 2/3IB + 2/3IC
IR = 2/3IC + 2/3ID
IS = 2/3ID + 2/3IA
ajoute membre à membre, et donc :
IP + IQ + IR + IS = 4/3 (IA + IB + IC + ID) [1]
or G est l'isobarycentre des points A, B, C et D
<=> 
M, 4 MG = MA + MB + MC + MD
or O est le centre du parallélogramme PQRS
<=> O est l'isobarycentre des points P, Q, R et S
<=> M, 4 MO = MP + MQ + MR + MS
donc la relation [1] s'écrit ........
...
J'ai pas très bien compris, mais je vois que dans :
IP + IQ + IR + IS = 4/3 (IA + IB + IC + ID) [1]
on a une reduction. non??
on a une reduction. non??
J'ai pas très bien compris.
Quel est le sens de la question ?
...
en faite j'ai presque rien comris :S
j'ai pas compris pourquoi on ajoute membre à membre et ce qui est en bas.
On a ces relations :
IP = 2/3IA + 2/3IB
IQ = 2/3IB + 2/3IC
IR = 2/3IC + 2/3ID
IS = 2/3ID + 2/3IA
maintenant, à partir de ces relations, on calcule :
IP + IQ + IR + IS = ....
en remplaçant IP, IQ, IR et IS par leur valeur.
...
en remplaçant IP, IQ, IR et IS par leur valeur on obtient:
2/3IA + 2/3IB + 2/3IB + 2/3IC + 2/3IC + 2/3ID + 2/3ID + 2/3IA
soit,
4/3IA + 4/3IB + 4/3IC + 4/3ID
oui, c'est ça. et donc on e arie à la suite :
IP + IQ + IR + IS = 4/3 (IA + IB + IC + ID) [1]
or G est l'isobarycentre des points A, B, C et D
<=> M, 4 MG = MA + MB + MC + MD
or O est le centre du parallélogramme PQRS
<=> O est l'isobarycentre des points P, Q, R et S
<=> M, 4 MO = MP + MQ + MR + MS
donc la relation [1] s'écrit ........
...
c'est lá oú je me bloque complètement, j'ai rien compris au chapitre du barycentre, alor je me bloque.
ok je détaille :
IP + IQ + IR + IS = 4/3 (IA + IB + IC + ID) [1]
or G est l'isobarycentre des points A, B, C et D
<=> M, 4 MG = MA + MB + MC + MD
...... et ce qui est vrai pour tout M, l'est également si M = I
...... et donc : 4 IG = IA + IB + IC + ID
or O est le centre du parallélogramme PQRS
=> O est l'isobarycentre des points P, Q, R et S
<=> M, 4 MO = MP + MQ + MR + MS
...... et ce qui est vrai pour tout M, l'est également si M = I
...... et donc : 4 IO = IP + IQ + IR + IS
donc la relation [1] s'écrit :
4 IO = 4/3 (4 IG)
<=> IO = 4/3 IG
=> IO et IG sont colinéaires
=> les points I, O et G sont alignés.
...
Ah! Merci beaucoup à vous tous! J'ai exactement le même DM à faire, et personnelement je n'y arrivais pas du tout. Merci!
D'abord avec thalès. Soit A2 le point d'intersection de (PS) et (AC) et P2 le point d'intersection de (AB) et (PS).
On applique thalès ds les triangles AP2A2 et ABI.
On a: AP2/AB = AA2/AI = P2A2/BI = 1/3
Donc IA2 = 2/3 IA
Soit B2 le point d'intersection de (BD) et (PQ)
On prouve de même que IB2 = 2/3 IB
IP = IB2 + B2P (relation de chasles)
Or PQRS et un parallélogramme donc B2P = IA2
IP = IB2 + IA2
<=> IP = 2/3 IA + 2/3 IB
Voila j'espère que j'ai été assez claire!
Bonjour, je suis nouveau et j'ai vu que vous avez réussi a faire l'exo est-ce que pourriez vous m'aidez a faire mon devoir maison il est du même type en privé s'il vous plaît de me contacter en laissant un petit message.
Merci
Annuler
connectez vous