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Niveau Licence-pas de math
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paramétrisation surface

Posté par
azerty4
25-11-18 à 09:05

Bonjour,

Une petite question sur la paramétrisation d'un triangle

on souhaite paramétriser le quadrilatère ABCD avec A(-1;0) B(1;-2) C(2;1) et D(0;1)

J'ai dessiné et découpé la surface en 2 triangles pour faciliter la paramétrisation

Soit le triangle ABC

Je paramétrise avec

x = A + u (B-A) + v(C-A)= = ... = 2u + 3v - 1
y =A + u (B-A) + v(C-A) = ... = -2u + v

On a T(u;v)

En faisant dS = \begin{Vmatrix} \frac{\partial T}{\partial u} * \frac{\partial T}{\partial v} \end{Vmatrix} du dv (produit vectoriel)

je trouve dS = 8 du dv

Comment faire pour trouver les bornes d'intégrations ?


Je ne vois pas comment trouver les domaines de u et v

Merci d'avance

Bon dimanche

paramétrisation surface

Posté par
luzak
re : paramétrisation surface 25-11-18 à 09:32

Bonjour !
Ton dessin indique clairement la solution :
Si 0\leqslant v\leqslant1 alors u est compris entre les abscisses des intersections de la droite d'équation y=v avec les droites AD,BC.

Si -2\leqslant v\leqslant0 u est compris entre les abscisses des intersections de la droite d'équation y=v et des droites BA,BC.

.................................
Tu peux faire le même travail en fixant u, d'abord entre -1,0 puis 0,1 puis 1,2

Posté par
azerty4
re : paramétrisation surface 25-11-18 à 09:46

Bonjour,

merci pour votre aide !

Je ne vois pas vraiment à quoi correspondent u et v sur le dessin

Posté par
DOMOREA
paramétrisation surface 25-11-18 à 11:06

bonjour,
Je suis d'accord avec ton dS, puis sauf erreur,
il me semble que u et v sont les composantes de AM dans la base (AB,AC), M étant un point intérieur au triangle ABC
ainsi quand u varie de 0 à 1, v varie de 0  à 1-u  (la borne 1-u est le résultat d'une simple application du théorème de Thales)
donc\int dS=\int_0^1\int_0^{1-u}8dudv=4

Posté par
azerty4
re : paramétrisation surface 25-11-18 à 11:14

Merci beaucoup pour votre aide !

Dans notre cours nous avons pour la paramétrisation d'un triangle

u et v \geq 0

u+v \leq 1

ce qui donne forcément pour u de 0 à 1 v allant de 0 à 1-u, et on l'appliquer dans tous les triangles sans forcément faire un dessin soigneux ?


Merci encore !

Bon dimanche

Posté par
DOMOREA
paramétrisation surface 25-11-18 à 12:09

re,
une remarque, bien que ton exercice ait un but pédagogique, il est curieux d'utiliser comme support la réunion de deux triangles car on sait alors que l'on peut travailler directement avec un triangle entier sans intégrer des triangles d'aire infinitésimale.
en effet  aire(ABC)= (1/2)||\vec{AB}\wedge\vec{AC}||



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