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Parité d'une fonction - Chapitre Dérivation
Bonjour à tous,
Je suis en 1ère S et j'ai un exercice de maths qui me pose problème...
Donc si quelqu'un pouvait me consacrer un petit peu de son temps pour m'aider, je lui serais très reconnaissant...
Voici l'énoncé: (ce que j'ai trouvé est en italique)
1. Etude d'exemples:
f et g sont les fonctions définies sur 
par:
f(x) = x² et g(x) = x3
a) Etudier la parité de f et g.
Dans un repère, quel est l'élément de symétrie de chacune des courbes représentant f et g ?
b) Donner les fonctions dérivées de f et g. ( f'(x)=2x et g'(x)=3x² )
c) étudier la parité de f ' et g'.
2. Etude du cas général:
a) f est une fonction paire dérivable sur , donc pour tout réel x, f(-x) = f(x).
Déduire de cette propriété que la fonction dérivée f' est impaire.
f'(-x) = 2*(-x) = -2x = -f(x) donc f ' est impaire. C'est ça ?
b) g est une fonction impaire dérivable sur , donc pour tout réel x, g(-x) = -g(x).
Déduire de ctte propriété que la fonction dérivée g' est paire.
g(-x) = 3*(-x)² = 3x² = g(x) donc g est paire. C'est ça ?
Ce sont donc les questions a) et c) du 1. qui me posent problème.
Je vous remercie d'avance pour votre aide.
Cordialement.
f et g sont les fonctions définies sur par:
f(x) = x² et g(x) = x3
a) Etudier la parité de f et g.
Dans un repère, quel est l'élément de symétrie de chacune des courbes représentant f et g ?
b) Donner les fonctions dérivées de f et g. ( f'(x)=2x et g'(x)=3x² )
c) étudier la parité de f ' et g'.
Prenons f(x) = x², on a -x 
et f(x)=x² f(-x)=(-x)²=x² donc f est pair symetrique par rapport a laxe Oy
Prenons f(x) = x3, on a -x sympetriqu par rapport au centre du repere
et f(-x)=(-x)3=-x3 et -f(x)=-(x3) = -x3 donc g est impair
f'(x)=2x
f'(-x)=-2x
-f'(x)=-2x
g'(x)=3x²
g'(-x)=(-3x²)=3x²
Bonjour
f'(-x) = 2*(-x) = -2x = -f(x) donc f ' est impaire.
g(-x) = 3*(-x)² = 3x² = g(x) donc g est paire. Il manque les ' de g'
Ce sont les réponses à 1.c)
1.a) Calcule f(-x) et compare avec f(x).
Calcule g(-x) et compare avec g(x).
2. Etude du cas général : f et g sont des fonctions quelconques (paire pour f et impaire pour g) mais ce ne sont plus les fonctions de la question 1.
Ah non, mince en fait, les réponses que j'ai mis au 2. sont en fait les répones qu'il faut mettre au c) du 1..
Le 1. j'arrive à le faire en entier, c'est bon...
C'est donc le 2. cas général qui me pose problème, j'y réfléchis...
Il faut voir ce qu'implique la parité et l'imparité pour une fonction (d'ailleurs je l'ai dit) ensuite tu utilises la propriete disant :
Si f est croissante alors f' est positive
Si f est decroissante alors f' est négative et normalement tu y arrives
Oui je vous ce que tu veux dire...
Pour la fonction carrée, c'est très clair: f(x) = x² est symétrique par rapport à (O,y) et f'(x) = 2x est sympétrique par rappot à l'origine O du repère. Doc f est paire et f ' est impaire...
Mais pour le cas général, je ne vois pas comment on le démontre...
Il faut voir ce qu'implique la parité et l'imparité pour une fonction (d'ailleurs je l'ai dit) ensuite tu utilises la propriete disant :
Si f est croissante alors f' est positive
Si f est decroissante alors f' est négative et normalement tu y arrives
tu ne vois pas comment y arriver avec ça ?
Ben... non 
Je me doute que ça doit être très simple... mais je ne vois pas...
On a dit que:
f(x) = f(-x) implique que f'(-x) = -f'(x) dans le cas général.
Si f est croissante, alors f' est positive.
Si f est decroissante, alors f' est négative.
Mais après je sèche !!! 
Je vais t'aider un peu. Prenons une fonction f , dérivable et définie sur A.
Cette fonction est paire, par voie de conséquence -x A
Sa représentation graphique sera symétrique par rapport à l'axe des ordonnée (Oy) donc si on réduit l'intervalle d'étude à un intervalle [I;J] (avec [I;J] A)
Alors Si f est décroissante sur [I;0] elle sera croissante sur [O;J] (du fait de la symétrie)
Or, d'après la propriété, si f est décroissante sur [I;0] alors f' sera négative sur [I;0] (en dessous de l'axe des abscisses (Ox). Et sur [0;J] elle sera positive. la représentation de f' aura donc une symetrie par rapport au centre du repère ce qui implique qu'elle sera impaire.
Tu fais pareil pour une fonction impaire
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