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partie compacte
Bonjour,
Quelqu'un pourrait-il me confirmer que l'ensemble est une partie compacte de R?
Voici mon idée de preuve:
Comme la suite des 1/n converge vers 0,il existe une boule ouverte centrée en 0 qui contient tous les 1/n pour n supérieur à un certain N, puis tous les 1/n d'indice inférieurs à N sont en nombre finis, on peut donc trouver un nombre fini de boules ouvertes qui les contiennent tous.
Mon ensemble admet un sous-recouvrement fini, donc il est compact d'après le théorème de Borel-Lebesgue.
Est-ce que ça semble correct comme preuve?
Bonjour,
Non la preuve n'est pas bonne....attention Borel-Lebesgue ce n'est pas trouver un recouvrement ouvert fini! C'est pouvoir en extraire un (recouvrement ouvert fini), de n'importe quel recouvrement ouvert.
Que dire du recouvrement ?
Bonjour,
Dans la continuité de lionel52, c'est d'utiliser le théorème de Bolzano-Weierstrass qui donne un résultat immédiat
Sinon un recouvrement plus simple avec les ouverts , on a
, donc une relation d'ordre qui simplifie les choses.
eh bien non, ça ne marche pas avec mes ouverts le 1 n'est pas dans mon recouvrement
Merci à tous pour vos réponses. Je vois que j'avais mal compris comment utiliser le Théorème de Borel-Lebesgue.
Alors en laissant Borel-Lebesgue de côté, et en passant à Bolzano-Weierstrass comme vous me l'avez suggéré, une nouvelle idée de preuve serait:
La suite est convergente, donc elle est bornée, et d'après le théorème de Bolzano-Weierstrass, elle admet une sous-suite convergente (on peut prendre la suite elle-même) qui converge vers 0.
Ainsi ma suite de l'ensemble admet une valeur d'adhérence, mais qui n'appartient pas à E, et donc mon ensemble E n'est pas compact.
Pour qu'il soit compact, il faudrait que je rajoute la valeur 0: .
Est-ce que là c'est mieux?
Une question pour Lionel52: comment sais-tu que comme l'ensemble ne contient pas 0, il n'est pas fermé? Pourrais-tu m'expliquer ton raisonnement (s'il y en a un, à moins qu'il ne s'agisse d'un résultat classique à connaître)?
Un fermé F d'un evn E doit contenir les limites de ses suites qui sont convergentes dans E et ici 0 n'est pas dans ton ensemble alors qu'il est limite dans d'une suite d'éléments de l'ensemble .
Zrun, j'ai petit un doute, on dit qu'une suite est convergente dans si sa limite est dans
.
Dans ce cas où la suite définie par
ne converge pas dans
.
donc il existe une suite dont aucune de ses sous-suites ne convergent dans E
dit autrement, il existe une suite sans point d'accumulation dans E
je prends le théorème donné par Wikipédia :
Un espace métrisable X est compact (au sens de l'axiome de Borel-Lebesgue) si (et seulement si) toute suite d'éléments de X admet une valeur d'adhérence dans X ou, de manière équivalente, admet une sous-suite qui converge vers un élément de X.
Une question pour Lionel52: comment sais-tu que comme l'ensemble ne contient pas 0, il n'est pas fermé? Pourrais-tu m'expliquer ton raisonnement (s'il y en a un, à moins qu'il ne s'agisse d'un résultat classique à connaître)?
Je suis pas certain qui va te répondre
, alors je te fais un cadeau
Si
Zrun, j'ai petit un doute, on dit qu'une suite est convergente dans
Dans ce cas où
donc il existe une suite dont aucune de ses sous-suites ne convergent dans E
dit autrement, il existe une suite sans point d'accumulation dans E
Ici le E que tu prends n'est pas vraiment un espace vectoriel ...
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