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Niveau Maths sup
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partie entière

Posté par
nyto
16-11-17 à 22:19

Bonjour.  Pour tout entier
Naturel n, montrer que:n[(\su{\sqrt{n}} +\su{\sqrt{n+1}})^2]=4n+1
Merci pour votre aide

Posté par
nyto
re : partie entière 16-11-17 à 22:22

[ ] représente la partie entière

Posté par
jsvdb
re : partie entière 16-11-17 à 22:24

Bonsoir nyto
Ça me parait mal engagé pour n = 0 !

Posté par
jsvdb
re : partie entière 16-11-17 à 22:26

Et l'expressIon paraît bizarre : un irrationnel x un entier = un entier 🧐

Posté par
nyto
re : partie entière 16-11-17 à 22:34

C'est ce qu'on demande de montrer
Sauf "√n " qui est une erreur
de saisie

Posté par
jsvdb
re : partie entière 16-11-17 à 22:54

Ok dans ce cas tu peux déjà extraire les entiers qui se cachent sous la partie entière à savoir 2n + 1

Posté par
mgbzd
re : partie entière 16-11-17 à 22:55

Peut être que tu devrais essayer d'utiliser la propriété de la fonction valeur entière ?

Posté par
jsvdb
re : partie entière 17-11-17 à 01:02

Sans trop forcer, tu dois pouvoir arriver à : [(\su{\sqrt{n}} +\su{\sqrt{n+1}})^2]=4n+1 \Leftrightarrow [2\sqrt{n(n+1)}]=2n.

Puis, par définition : [x]=k \Leftrightarrow k \leq x < k+1

Posté par
sam1
re : partie entière 17-11-17 à 01:21

bonsoir

revenir à la définition comme le dit jsvdb


4n+1\le \left( \sqrt { n } +\sqrt { n+1 }  \right) ^{ 2 }<4n+2\\ \\ \Leftrightarrow...

Posté par
nyto
re : partie entière 17-11-17 à 03:12

jsvdb @ 17-11-2017 à 01:02

Sans trop forcer, tu dois pouvoir arriver à : [(\su{\sqrt{n}} +\su{\sqrt{n+1}})^2]=4n+1 \Leftrightarrow [2\sqrt{n(n+1)}]=2n.

Puis, par définition : [x]=k \Leftrightarrow k \leq x < k+1
pourquoi partir de ce qu'on veut démontrer??

Posté par
nyto
re : partie entière 17-11-17 à 03:13

Bon jour à tous désolé du retard je dormais un tout petit peu

Posté par
nyto
re : partie entière 17-11-17 à 03:32

sam1 @ 17-11-2017 à 01:21

bonsoir

revenir à la définition comme le dit jsvdb


4n+1\le \left( \sqrt { n } +\sqrt { n+1 }  \right) ^{ 2 }<4n+2\\ \\ \Leftrightarrow...
merci ca c'est bien le cours j'ai vu merci bocoup ohh lala c'est rien que le cours

Posté par
nyto
re : partie entière 17-11-17 à 03:54

jsvdb @ 17-11-2017 à 01:02

Sans trop forcer, tu dois pouvoir arriver à : [(\su{\sqrt{n}} +\su{\sqrt{n+1}})^2]=4n+1 \Leftrightarrow [2\sqrt{n(n+1)}]=2n.

Puis, par définition : [x]=k \Leftrightarrow k \leq x < k+1
. Mon PB est pourquoi par t'on de ce qu'on veut démontrer :?

Posté par
sam1
re : partie entière 17-11-17 à 03:55

oui celle là

n'est pas compliqué  tu dois aboutir à quelque chose de vraie ce qui prouve le résultat voulu.

Posté par
nyto
re : partie entière 17-11-17 à 04:19

Ma préoccupation est qu'on demande de démontrer,  nous ne pouvons
Pas partir de l'égalité qu'on nous demande  de demontrer!  

Posté par
nyto
re : partie entière 17-11-17 à 04:20

sam1KZ sais pas si tu me comprends

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : partie entière 17-11-17 à 09:11

Bonjour,
On peut partir de la proposition à démontrer si on n'utilise des équivalences.
Sinon, on écrit les encadrements équivalents au brouillon jusqu'à " aboutir à quelque chose de vraie" ; puis on recopie à l'envers.

On note (E) : [( n + (n+1) )2] = 4n + 1

(E) 4n + 1 ( n + (n+1) )2 < 4n + 2

(E) 4n + 1 n + 2(n(n+1)) + n+ 1 < 4n + 2

(E) 2n 2(n(n+1)) < 2n + 1

Comme toutes les expressions sont positives, les inégalités sont équivalentes aux inégalités entre les carrés.

(E) (2n)2 .....

Posté par
nyto
re : partie entière 17-11-17 à 12:56

Merci bocoup

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : partie entière 17-11-17 à 16:52

De rien, et à une autre fois sur l'île

Posté par
nyto
re : partie entière 17-11-17 à 17:09

Posté par
flight
re : partie entière 17-11-17 à 18:13

salut

une proposition  sans s'occuper de 4n +1 au debut

on part de E( ((n+1) +n)²).    par definition

si  E( ((n+1) +n)²) =k  , alors  

k ((n+1) +n)²< k+ 1.


on a aussi      n+1 > n   alors
                (n+1)  > n  et  
  n. (n+1)  > n.n    
soit      n. (n+1) >  n    puis ensuite  
2 n. (n+1) > 2 n    et on ajoute ensuite 2n membre à membre , soit  
2 n. (n+1)  +2n > 4 n    et on ajoute  1  soit donc
2 n. (n+1)  +2n  + 1 > 4 n +1
finalement cela revient à ecrire que  
((n+1) +n)² > 4n +1

soit donc 4n + 1 < ((n+1) +n)²


ca vaut ce que ca vaut ...

Posté par
flight
re : partie entière 17-11-17 à 18:17

....  k pourrait  jouer le role de 4n+1

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : partie entière 17-11-17 à 18:24

Bonsoir flight,
Oui, dans

Citation :
(E) 2n 2(n(n+1)) < 2n + 1
il est inutile d'élever au carré pour 2n 2(n(n+1)) . Utiliser n < n+1 suffit.

Par contre 2(n(n+1)) < 2n + 1 est moins évident.

Posté par
Razes
re : partie entière 17-11-17 à 18:25

nyto @ 17-11-2017 à 04:19

Ma préoccupation est qu'on demande de démontrer,  nous ne pouvons
Pas partir de l'égalité qu'on nous demande  de demontrer!  
Mais c'est possible de partir du résultat afin de démonter que c'est vrai.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : partie entière 17-11-17 à 18:38

Bonsoir Razes,
J'avais déjà un peu répondu :

Citation :
On peut partir de la proposition à démontrer si on utilise des équivalences.
Sinon, on écrit les encadrements équivalents au brouillon jusqu'à " aboutir à quelque chose de vraie" ; puis on recopie à l'envers.

Posté par
Razes
re : partie entière 17-11-17 à 18:54

Nous avons: (\sqrt{n} +\sqrt{n+1})^2 =n+2\sqrt{n}\sqrt{n+1}+n+1=2n+1+\sqrt{4n(n+1)}

Encadrons le terme sous la racine; Nous avons aussi: 4n(n+1)=4n^{2}+4n=(2n+1)^{2}-1;  

Donc:
4n^{2}\leqslant 4n^{2}+4n< (2n+1)^{2}\Leftrightarrow 2n\leqslant \sqrt{4n(n+1)}< (2n+1)\Leftrightarrow

Finalement:
2n+1+2n\leqslant 2n+1+\sqrt{4n(n+1)}< 2n+1+(2n+1)\Leftrightarrow 
 \\ 2n+1+2n\leqslant (\sqrt{n} +\sqrt{n+1})^2< 2n+1+(2n+1)\Rightarrow  
 \\ 4n+1\leqslant E\left ((\sqrt{n} +\sqrt{n+1})^2  \right )< 4n+2\Rightarrow 
 \\ E\left ((\sqrt{n} +\sqrt{n+1})^2=4n+1

CQFD

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : partie entière 17-11-17 à 19:13

J'enlèverais bien le E de l'avant dernière ligne :

4n+1  \leqslant  (\sqrt{n} +\sqrt{n+1})^2  \right )< (4n+1) +1

Posté par
Razes
re : partie entière 17-11-17 à 22:02

Merci Sylvieg pour la remarque.

Je préfère le laisser, pour montrer qu'on est passé à la partie entière et que cette partie entière est comprise entre (4n+1) et  (4n+1)+1, d'où la conclusion de a dernière ligne.

Posté par
carpediem
re : partie entière 18-11-17 à 00:25

Sylvieg @ 17-11-2017 à 19:13

J'enlèverais bien le  E  de l'avant dernière ligne :

4n+1  \leqslant  (\sqrt{n} +\sqrt{n+1})^2  \right )< (4n+1) +1
ouais des fois qu'il y en ait qui pense que le successeur de 4n + 1 est 5n + 1 ...

on peut remarquer que E(n + x) = n + E(x) pour tout entier n et réel x : on peut donc jeter 2n + 1 à la poubelle ... (enfin on le met de côté ....)



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