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Partie entière

Posté par Profil Ramanujan 01-02-19 à 13:09

Bonjour,

Soit n un entier naturel.

Dans le cadre d'un exo sur les sommes je souhaite faire un changement d'indice du coup je cherche les entiers tels que :

0 \leq p \leq 2n - \dfrac{1}{2}

Je veux simplifier E(2n - \dfrac{1}{2}) pour avoir mon intervalle d'indexation pour les p impair car je pose k=2p+1

Comment simplifier cette partie entière ?

Posté par
jsvdbre : Partie entière 01-02-19 à 13:16

Bonjour Ramanujan.
Il me semble que de façon ultra simple, on a E(2n-1/2) = E(2n) -1

Et donc les p qui vérifient 0 \leq p \leq 2n -1/2 vérifient 0 \leq p \leq 2n -1

Citation :
p impair car je pose k=2p+1

Ce serait plutôt p = 2k + 1

Et donc 0 \leq p \leq 2n -1 donne 0 \leq 2k+1 \leq 2n -1 et 0 \leq 2k \leq 2n -2 et encore 0 \leq k \leq n -1

Posté par
jsvdbre : Partie entière 01-02-19 à 13:18

Et il me semble aussi que E(2n) = 2E(n) si n est un entier relatif.

Posté par
jsvdbre : Partie entière 01-02-19 à 13:20

LOL de LOL : on a E(2n) = 2n

Posté par
jsvdbre : Partie entière 01-02-19 à 13:24

Enfin bref, toute cette mascarade pour dire que E(2n-1/2) =2n-1

Posté par Profil Ramanujanre : Partie entière 01-02-19 à 13:30

Ok merci jsvdb.

Je remets le contexte.

Je souhaite calculer :  S=\sum_{k=1}^{4n} i^k k

Je veux décomposer en termes pairs et impairs.  Effectuons une partition de I=[|1,4n|] = J_1 \bigcup J_2

S=\sum_{j \in J_1 }  i^{2j+1} (2j+1) + \sum_{j \in J_2}  i^{2j} (2j)  

Je dois déterminer J_1 et J_2

Je trouve : 1 \leq 2j+1 \leq 4n soit 0 \leq j\leq 2n - \dfrac{1}{2}

Donc J_1 = [|0 , 2n -1 |]

De même : J_2 = [|1,2n|]

Mais je bloque ici :

S=2 \sum_{p=1}^{2n} (-1)^p p +  i  \sum_{p=0}^{2n-1} (-1)^p (2p+1)

Posté par Profil Ramanujanre : Partie entière 01-02-19 à 13:32

jsvdb @ 01-02-2019 à 13:24

Enfin bref, toute cette mascarade pour dire que E(2n-1/2) =2n-1


Vous utilisez la règle E(x+n) = E(x) + n ?

Avec x = - \dfrac {1}{2} ?  

Posté par
jsvdbre : Partie entière 01-02-19 à 13:41

Oui, c'est ça

Posté par
lionel52re : Partie entière 01-02-19 à 14:13

Tu te compliques la vie !


(i - 2 - 3i + 4) = 2(1-i)
(5i - 6 - 7i + 8) =2(1-i)

etc

Posté par Profil Ramanujanre : Partie entière 01-02-19 à 15:43

Ah bien vu mais est-ce une démonstration ?

Ensuite c'est facile il y a 4n termes dans la somme et on les regroupe par paquets de 4 donc :

S= 2n (1-i)

Posté par
lionel52re : Partie entière 01-02-19 à 15:58

Bah à toi de la faire maintenant..

Posté par
carpediemre : Partie entière 01-02-19 à 16:12

salut

Ramanujan @ 01-02-2019 à 13:30

Je souhaite calculer :  S=\sum_{k=1}^{4n} i^k k

Je veux décomposer en termes pairs et impairs.  Effectuons une partition de I=[|1,4n|] = J_1 \bigcup J_2
pourquoi ?

Posté par Profil Ramanujanre : Partie entière 01-02-19 à 16:37

@Carpediem

Je sais pas j'ai eu cette idée mais pas sûr que ce soit la bonne ici.

Posté par Profil Ramanujanre : Partie entière 01-02-19 à 16:50

@Lionel

Je tente la démonstration

S=\sum_{k=0}^{4} k i^k + \cdots + \sum_{k=4n-3}^{4n} k i^k  

S = \sum_{j=1}^{n} \sum_{k=0}^{4j} k i^k  

Et là je vois pas comment manipuler cette somme double afin de la simplifier.

Posté par
etniopalre : Partie entière 01-02-19 à 16:57

Pour condenser  ( pas calculer )  S :=  X + 2X² + .....+ kXk +....+ mXm
  je pense plutôt  à  écrire
S = X(1 + 2X +...+ mXm-1  et voir que S = XT '  où   T := 1 + X + X² +...+ Xm)
Mais tous les goûts sont dans la nature !

Posté par Profil Ramanujanre : Partie entière 01-02-19 à 17:39

Il faut montrer que \forall p \in [|0,n|] : \sum_{k=4p+1}^{4p+4} k i ^k = 2 (1-i)  ?

Posté par
lionel52re : Partie entière 01-02-19 à 17:48

Bah oué...

Posté par Profil Ramanujanre : Partie entière 01-02-19 à 19:38

Soit \forall p \in [|0,n-1|]

\sum_{k=4p+1}^{4p+4} k i ^k = (4p+1) i^{4p+1} + (4p+2) i^{4p+2}+(4p+3) i^{4p+3} +(4p+4) i^{4p+4} = i (4p+1) - (4p+2) - i (4p+3) + 4p+4

Ainsi : \sum_{k=4p+1}^{4p+4} k i ^k = -2i + 2 = 2(1-i)  

Ça marche nikel

@etnopial

Pas compris quoi faire avec votre dérivée.

Posté par
carpediemre : Partie entière 01-02-19 à 20:49

soit s(p) = \sum_1^p x^k $ et $ t(p) = \sum_1^p kx^k

t(n) = \sum_1^n kx^k = x + 2x^2 +3x^3 + ... + nx^n = \\ \\ x + x^2 +x^3 + ... + x^n + x^2 + 2x^3 + 3x^4 + ... + (n - 1)x^n = \\ \\ s(n) + x[x + 2x^2 + 3x^3 + 4x^4 + ... + (n -1)x^{n - 1}] = \\ \\ s(n) + xs(n - 1) + x(x^2 + 2x^3 + 3x^4 + ... + (n - 2)x^{n - 1}) = s(n) + xs(n - 1) + x^2[x + 2x^2 + 3x^3 + 4x^4 + ... + (n - 2)x^{n - 2}] = \\ \\ s(n) + xs(n - 1) + x^2s(n - 2) + x^2 [x^2 + 2x^3 + 3x^4 + ... + (n - 3)x^{n - 2}] = ... \\


généralisons : on en déduit la relation de récurrence :

t(n) = s(n) + xt(n - 1)

donc :

t(n) = s(n) + xt(n - 1) =s(n) + xs(n - 1) + x^2t(n- 2) = s(n) + xs(n - 1) + x^2s(n - 2) + x^3t(n - 3) = ... = \sum_0^nx^ks(n - k)

Posté par Profil Ramanujanre : Partie entière 01-02-19 à 21:42

Je comprends rien.

Mais c'est pas grave j'ai résolu l'exo à ma manière.


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