Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Maths sup ArithmétiqueTopics traitant de arithmétique [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau Maths sup
Partager :

Partie entière

Posté par
matheux14 12-10-21 à 00:07

Bonsoir,

Montrer que :

1) \forall (x~;~y) \in \R²  ~;~x \le y \Rightarrow E(x) \le E(y)

2) \forall (x~;~y) \in \R²  ~;~E(x+y) -E(x)-E(y) \in [0 ; 1]

3) \forall x \in \R  ~;~ \forall \in \N^* x ~,~0 \le E(nx)-nE(x) \le n-1

4) \forall x \in \R  ~;~ \forall \in \N^* ~;~ E\left(\dfrac{1}{n}E(nx)\right)=E(x)

5) \forall n \in \Z ~;~E\left(\dfrac{n-1}{2}\right)+E\left(\dfrac{n+2}{4}\right)+E\left(\dfrac{n+4}{4}\right)=n

Je bloque sur la dernière question pourriez vous m'aider s'il vous plait

Posté par
jsvdbre : Partie entière 12-10-21 à 00:50

Bonsoir matheux14.
Pour la 5), tu mets les entiers n sous la forme 4p, 4p+1, 4p+2 et 4p+3

Je te fais pour n = 4p+1 où p \in \Z

E\left(\dfrac{n-1}{2}\right)+E\left(\dfrac{n+2}{4}\right)+E\left(\dfrac{n+4}{4}\right) =

E\left(2p)+E\left(p+3/4)+E\left(p+4/5) = 2p + p + (p+1) = 4p+1

Posté par
Razesre : Partie entière 12-10-21 à 00:53

Bonsoir,

Peut-être discuter les cas, suivant les intervalles avec les bornes 4k, 4k+1, 4k+2, 4k+3, 4K+4

Réfléchis

Posté par
Razesre : Partie entière 12-10-21 à 00:54

Je suis arrive en retard.

Posté par
matheux14re : Partie entière 12-10-21 à 01:15

Pour n=4k

E\left(\dfrac{n-1}{2}\right)+E\left(\dfrac{n+2}{4}\right)+E\left(\dfrac{n+4}{4}\right) =E\left(\dfrac{8p-2}{4}\right)+E\left(\dfrac{4p+2}{4}\right)+E\left(\dfrac{4p+4}{4}\right)=E\left(2p-\dfrac{1}{2}\right)+E\left(k+\dfrac{1}{2}\right)+E\left(p+1\right)  

Posté par
matheux14re : Partie entière 12-10-21 à 01:25

Pour n = 4p+2

E\left(\dfrac{n-1}{2}\right)+E\left(\dfrac{n+2}{4}\right)+E\left(\dfrac{n+4}{4}\right) =E\left(p+\dfrac{1}{2}\right)+E\left(p+1\right)+E\left(p+\dfrac{3}{2}\right)

n = 4p+3

E\left(\dfrac{n-1}{2}\right)+E\left(\dfrac{n+2}{4}\right)+E\left(\dfrac{n+4}{4}\right) =E\left(2p+1\right)+E\left(p+\dfrac{5}{4}\right)+E\left(p+\dfrac{7}{4}\right)

Posté par
Razesre : Partie entière 12-10-21 à 09:53

Bonjour,
Il te reste la simplification des expression sachant que p\in Z

Par exemple ; pour p=-5 que vaut E (p+\frac 45)?

Posté par
matheux14re : Partie entière 12-10-21 à 10:02

C'est -5

Posté par
jsvdbre : Partie entière 12-10-21 à 10:57

Je pense que tu peux faire d'une pierre 4 coups en posant n = 4p + i avec i \in \{0,1,2,3\} et p\in \Z entier quelconque :

E\left(\dfrac{4p + i-1}{2}\right)+E\left(\dfrac{4p + i+2}{4}\right)+E\left(\dfrac{4p + i+4}{4}\right) =

2p+{\red E\left(\dfrac{i-1}{2}\right)}+p+{\red E\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{i}{4}\right)\right)}+p+{\red E\left(1+\dfrac{i}{4}\right)} = ...

et montrer que la somme des rouges fait i. Ça force à priori à redistinguer 4 cas, mais uniquement avec i = 0,1,2 ou 3

Posté par
Razesre : Partie entière 12-10-21 à 11:40

Bonjour,

Il y a des règles qu'il faut connaître.
Que valent:
n, p\in Z; r\in R; E (4n); E (np); E(n+r)

Posté par
jsvdbre : Partie entière 12-10-21 à 16:39

Sinon, pour les autres questions où tu ne souhaites pas d'aide à priori, je peux donner une méthode de résolution possible (il y en a bien sûr d'autres) :
poser, pour tout x \in \R, x = E(x) +F(x) où E(x) est la partie entière de x et F(x) sa partie fractionnaire.
Cette décomposition est unique et E(x) \in \Z tandis que F(x)\in [0,1[.

Ainsi, le 1) peut se résoudre par

x \leq y \Rightarrow {\blue E(x) + F(x) \leq E(y) + F(y)}\Rightarrow E(x) \leq E(y) + F(y)\Rightarrow {\blue E(x) \leq E(y)} (la dernière implication demande à être justifiée)

le 2) par

x = E(x) +F(x)

y = E(y) +F(y)

x+y = E(x)+E(y) +F(x)+F(y)

E(x+y) = E(x)+E(y) +E(F(x)+F(y))  où on a utilisé le fait que E(x+n) = E(x) + n pour tout x \in \R \text{ et } n \in \Z

Or F(x)+F(y) \in [0,2[ donc E(F(x)+F(y)) \in \{0;1\} d'où le résultat.

Le 3) se fait par récurrence avec le 2)

Le 4) est une conséquence (presque) directe du 3)

Posté par
matheux14re : Partie entière 12-10-21 à 16:50

Soit A=2p+{\red E\left(\dfrac{i-1}{2}\right)}+p+{\red E\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{i}{4}\right)\right)}+p+{\red E\left(1+\dfrac{i}{4}\right)}

4n-1 ≤ E(4n) < 4n +1

E(np) = np

n+r-1 ≤ E(n+r) < n+r

*Pour i= 0 ; A = 2p -1 +p +0 + p + 1 = 4p

*Pour i = 1 ; A = 2p + 0 + p +0 + 1 = 4p +1

* Pour i = 2 ; A = 2p + 0 +p + 1 + p + 1 = 4p + 2

* Pour i = 3 ; A = 2p + 1 + p + 1 +p + 1 = 4p +3

Posté par
matheux14re : Partie entière 12-10-21 à 16:59

Ok, merci.

Posté par
matheux14re : Partie entière 12-10-21 à 18:05

Pour la 5e question, comment conclure ?

Posté par
jsvdbre : Partie entière 12-10-21 à 22:22

Eh bien tu dis que quand p parcourt \Z alors n=4p+i, i \in \{0,1,2,3\} parcourt également \Z.
L'égalité demandée a donc été prouvée pour tout n \in \Z

Posté par
matheux14re : Partie entière 12-10-21 à 22:33

D'accord, merci beaucoup.

Posté par
Razesre : Partie entière 12-10-21 à 23:34

En réponse a ton post de 12-10-21 à 16:50, je m'attendais à ce que tu réponde:

Pour  n, p\in Z; r\in R;

E(4n) =4n\\ \\ E(np) = np\\ \\ E(n+r)=n+E(r)


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !