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Niveau algorithmique
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Partie entière et décimale d'une racine carré

Posté par
Guimzo
08-04-15 à 14:41

Bonjour,

Une personne saurait-elle si c'est possible,de calculer ( sous forme d'opérations élémentaires, du style addition, soustraction, carré, racine carré, ln, etc etc...) la partie décimale d'une racine carré, c'est à dire tous les chiffres derrière la virgule...?

Exemple :
sqrt(19) égal à peu près 4.3588989435406736

Existe t-il une méthode qui permette de trouver la partie décimale, c'est à dire "0.3588989435406736.."...?

édit Océane : forum modifié

Posté par
carpediem
re : Partie entière et décimale d'une racine carré 08-04-15 à 15:54

salut

oui ...

une méthode manuelle :: extraire la racine carrée à la main ....



Posté par
Guimzo
Partie entière et décimale d'une racine carré 09-04-15 à 01:27

Bonjour,

Merci pour ta réponse, mais il s'agit de savoir, si une FORMULE purement basée sur le calcul existe ; non un truc à la main, qu'on ne peut inclure dans une opération mathématique.

Une formule du genre :

0.3588989435406736 = sqrt(19)-4

Plus généralement : Decimale(sqrt(n)) = sqrt(n) - X

Mais X est égal à quoi, comment le calculer..............?

Posté par
kioups
re : Partie entière et décimale d'une racine carré 09-04-15 à 08:18

Peut-être en soustrayant la partie entière.

Posté par
mathafou Moderateur
re : Partie entière et décimale d'une racine carré 09-04-15 à 15:04

Bonjour,

en dehors du contexte la question ne rime à rien

tu écris des sqrt(n) ça n'est pas "une opération mathématique"
l'opération mathématique c'est n
sqrt(n) c'est la façon de "traduire" cette opération mathématique dans un langage de programmation

donc replacer le problème dans son contexte

sinon en appelant "partie entière de x" la notation mathématique [x], le plus grand nombre entier x

on a
partie fractionnaire de x = x - [x] quel que soit x
que ce soit une racine carré ou n'importe quoi.

(et en programmation x - floor(x))

on peut aussi "étendre" la notion de "modulo" aux nombres réels et à un modulo de 1
partie fractionnaire de x x modulo 1

mais cela relève du pur "jeu d'écriture"

de même que directement frac(x) tant qu'à faire...

Posté par
B055K3V
re 11-04-15 à 16:36

actuellement partie entière de x est notée comme ceci : \left\lfloor x\right\rfloor 
 \\

Posté par
mathafou Moderateur
re : Partie entière et décimale d'une racine carré 11-04-15 à 17:21

oui, j'ai eu la flemme de taper des caractères pas au clavier ou d'écrire en LaTeX.
ça ne change rien au principe.

Posté par
B055K3V
re 11-04-15 à 18:15

mais sinon avec une boucle (écrit en python)

def partie_fractionnaire(x):
    try:
        x>=0 and x<1
    except:
        return x
    try:
        x<0
    except:
        while x<0:
            x+=1
        return x
    try:
        x>=1
    except:
        while x>=1:
            x-=1
        return x

/!\ j'utilise la partie décimale dans le cas x-E(x) où E est la partie entière informatique et non mathématique /!\

voici la différence entre les deux :
si on note \left\lfloor x\right\rfloor la partie entière mathématique et E(x) la partie entière informatique, alors
\forall x\in\left]0,1\right[,
 \\ \forall n\in\mathbb{N}*,
 \\ \left\lfloor -n+x\right\rfloor =-n
 \\ et
 \\ E\left(-n+x\right)=1-n
 \\

Posté par
alainpaul
re : Partie entière et décimale d'une racine carré 12-04-15 à 10:23

Bon dimanche à tous,

Extrayons le plus grand carré de x2  :  x^2= \left\lfloor x \right\rfloor ^2 + y

Posons frac_{[0]}(x)=0 , frac pour partie décimale,frac_{[0]} ,la première estimation.

Nous obtenons alors la relation suivante:
frac_{[i+1]}(x)=\frac{y}{2\left\lfloor x \right\rfloor+frac_{[i]}(x)}


De là,nous pouvons élaborer un algorithme de 'bonne convergence',



Alain

Posté par
alainpaul
re : Partie entière et décimale d'une racine carré 12-04-15 à 18:36

A nouveau,

Nous pouvons remarquer que la fonction homographique  h(u)=\frac{y}{2|x|+u}
s'itère facilement ,cela nous permet le calcul rapide de frac_{k}(x)
k un entier .


Alain

Posté par
Guimzo
Partie entière et décimale d'une racine carré 20-04-15 à 02:49

Bonsoir,

Merci pour toutes ces réponses mais n'existe t'il aucune méthode pour calculer la partie décimale d'une racine carré sans passer par des encadrements et des algorithmes d'itérations etc...

C'est à dire comment réduire par exemple [(sqrt(p))]²............?????

Sachant que (sqrt(p))² = p

Posté par
Guimzo
Partie entière et décimale d'une racine carré 20-04-15 à 02:54

(Suite)

Existe t-il donc une formule au plein sens du terme, du genre :

[sqrt(p)] = sqrt(p) - ( 2 ln(p) * (1+sqrt(5))/2 )

Voilà ce qu'on entend par formule et non pas des méthodes itératives...

Posté par
B055K3V
re 20-04-15 à 15:20

que fait le nombre d'or la-dedans ?...

Posté par
mathafou Moderateur
re : Partie entière et décimale d'une racine carré 20-04-15 à 15:43

guizmo a écrit un borborygme en guise d'exemple de ce qu'il considère comme "des formules", un truc "prétendu pas un algorithme" alors qu'il est bien évident que calculer un logarithme ou une racine carrée ne peut de toute façon que faire intervenir des algorithmes pour les calculer.
on lui en a donnée une de formule (avec la "partie entière") il rêve s'il pense qu'il y a mieux

mais à quoi bon poursuivre cette discussion trollesque...

Posté par
alainpaul
re : Partie entière et décimale d'une racine carré 22-04-15 à 09:59

Oui,


Vous avez proposé des solutions ,la voie que je donnais
vous paraît-elle judicieuse?



Alain

Posté par
Guimzo
Partie entière et décimale d'une racine carré 22-04-15 à 21:31

Bonsoir,

Voici ce genre de formule qu'on demande :
Pour tous les nombres qui sont la différence entre 1 carré et 1 on peut vérifier que cette relation est toujours vraie et ne fait intervenir aucun algorithme itératif :

Si p= x²-1

Alors [sqrt(p)] = sqrt(p) - ((2*sqrt(p)-2*sqrt(p+1))*(1/2)+1)

Cette formule n'est pas un exemple et est vraie pour certains nombres, par exemple :

8,15,24,35,48,80,99 etc etc etc...

Dans la formule donc, on calcule notre partie décimale ou entière  UNIQUEMENT à partir de p lui-même.

Le probléme est de savoir si on peut trouver une formule générale pour tous les nombres ...??

Posté par
carpediem
re : Partie entière et décimale d'une racine carré 23-04-15 à 09:04

chez moi ::

(2a - 2b)*(1/2) = a - b

-(a - b + 1)= b - a - 1

une formule illisible pour faire semblant ....

Posté par
B055K3V
re 23-04-15 à 09:25

ce n'est pas seulement chez toi

Posté par
alainpaul
re : Partie entière et décimale d'une racine carré 23-04-15 à 09:31

Bonjour,

Oui,tout même pour moi.

En fait ,si nous partons de y=(q+1)^2=q^2+2q+1
nous avons bien :   \forall y_i \in   [q^2,q^2+2q] , |\sqrt{y_i}|=q  

Plus généralement y-\lfloor\sqrt{y_i}\rfloor=1



Hope it helps,


Alain

Posté par
B055K3V
re 23-04-15 à 11:12

of course...

Posté par
alainpaul
re : Partie entière et décimale d'une racine carré 23-04-15 à 11:48

De cheval ou à pied?



Alain

Posté par
B055K3V
re 23-04-15 à 13:31

Posté par
Guimzo
Partie entière et décimale d'une racine carré 24-04-15 à 21:28

Bonsoir,

Merci @AlainPaul, vous semblez être le seul a avoir compris la question...

Voici la formule quand "p" est de la forme p = k²-1

[sqrt(p)] = sqrt(p+1) - 1

Mais cela suppose que l'on sache que p soit équivalent à k²-1

Ainsi de façon générale on peut écrire, que  pour tout p :

[sqrt(p)] = sqrt(p+c) - 1 avec "c" la différence entre p et le carré le plus proche.

Mais peut-on connaître "c" sans passer par la case a² < p² < c²...?
Une formule a priori, sans savoir si oui ou non p est de telle ou telle forme..?
Une sorte de fonction f(x) qui prend un "x" donné et sort un "y", sans savoir si "x" est çi ou ça...?

Posté par
alainpaul
re : Partie entière et décimale d'une racine carré 26-04-15 à 12:55

Bon dimanche,


Non,je ne suis pas le seul a avoir compris la question.

1) pour les réels non carrés d'entiers ,la partie non entière
de la racine comporte le plus souvent un nombre illimité de
décimales "donner tous les chiffres derrière la virgule"
n'est pas possible et en fournir un grand nombre n'a guère d'intérêt.

2) le procédé que je proposais converge assez vite ,avec ton exemple
y=x^2-\lfloor x \rfloor ^2=3 ,\lfloor x \rfloor=4
u_0=\frac{1}{2} ,u_1=\frac{3}{2\times 4 +\frac{1}{2}},u_2=\frac{3}{2\times 4 +u_1},u_3=...


3) "une telle fonction f(x)" n'est pas bijective ,tous les carrés x=p2 ,p entier
ont la même partie décimale y=0 ...



Alain

Posté par
Guimzo
Partie entière et décimale d'une racine carré 27-04-15 à 14:40

Bonjour,

@AlainPaul, pourriez-vous m'aider s'il vous plaît par rapport à un probléme lié aux fonctions...
En fait j'ai une fonction f(x) pour laquelle il existe des points ou f(a) = b et f(b) = a
Le probléme est de savoir si à l'aide d'une autre fonction, il est possible de trouver au moins un "a" pour lequel f(a) = b et f(b) = a...?
(J'ai pensé à une autre fonction g(x) qui couperait justement f(x) en un tel point où f(a)=b et f(b) =a)

Merci

Posté par
alainpaul
re : Partie entière et décimale d'une racine carré 27-04-15 à 15:43

Bon après-midi,


Sur ce site il existe des règles permettant de bien travailler ensemble,
celle ici concernée: "A chaque nouveau problème" un topic/sujet différent,


A plus,

Alain

Posté par
Guimzo
Partie entière et décimale d'une racine carré 27-04-15 à 17:31

Bonjour,

Merci @AlainPaul pour les recommandations, je vais faire un nouveau topic donc, pour le sujet :

Titre du topic : " Fonction f(a) = b et f(b) = a "

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