Bonjour,

l'exercice dit :

Soit A une partie compacte et B une partie fermée de R. On pose C=A+B={a+b/a∈A et b∈B }

Montrer que C est un fermé

la correction du prof est :

Il suffit de montrer que \bar{C}⊂C

Soit c∈\bar{C} , il existe une suite (x_n)n d'élément de C tel que x_n converge vers c

∃a_n∈A, ∃b_n∈B / c_n=a_n+b_n

Donc il existe ϕ injective croissante de N vers N tel que aϕn converge vers a.

c_ϕ(n)=a_ϕ(n)+b_ϕ(n) ⟹ b_ϕ(n)=c_ϕ(n)−a_ϕ(n)

on a : b_ϕ(n) converge vers b∈B car B est fermé

c=a+b∈C (c'est le point que je n'ai pas compris)

d'où le résultat.

P.S: je n'ai pas compris comment il a conclu que c∈C sans qu'on a a∈A