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Partie majorée
Ramanujan
Bonjour,
1/ Soit un ensemble totalement ordonné. Montrer que toute partie de
est majorée.
2/ En déduite qu'une partie de est finie si et seulement si elle est majorée.
Je ne vois pas comment faire pour la question 1. Quelle est la relation d'ordre ici 
salut
on se fout de qui est la relation d'ordre : c'est la relation (que tu peux noter) comme dans
... epictou
et l'énoncé me semble fort douteux : R est totalement ordonné et sa partie N (les entiers naturels) n'est pas majorée ...
Peu importe la relation d'ordre, le principal c'est qu'elle existe. tu peux la noter x 
y si tu veux.
Est-ce que ça ne serait pas " toute partie finie de E est majorée" ?
(parce que sinon ça n'est pas vrai, prend l'ensemble des entiers (donc E = 
) muni de la relation d'ordre
classique , l'ensemble des nombre pairs est une partie de E et les nombres pairs ne sont pas majorés . )
Oui désolé je corrige l'énoncé.
1/ Soit un ensemble totalement ordonné. Montrer que toute partie finie de
est majorée.
2/ En déduite qu'une partie de est finie si et seulement si elle est majorée.
Je ne comprends pas l'indication du livre : on pourra faire une récurrence sur l'entier .
Je ne vois pas le rapport entre l'exercice et le cardinal.
Ah si finalement. Donc j'essaie la récurrence.
Montrons par récurrence sur l'entier que toute partie finie
de
est majorée.
Au rang ,
donc
Soit . On a bien :
Donc la propriété est vraie au rang .
Soit tel que la propriété est vraie au rang
.
Considérons tel que
Soit et
On a :
Par hypothèse de récurrence, est majorée. Soit
un majorant de
.
Mais comment trouver un majorant de ?
Comment trouver un majorant de
Tu as besoin de la relation d'ordre pour trouver un majorant d'un ensemble à UN élément?
Ah je suis bête merci car
est une relation d'ordre donc réflexive.
Il suffit de prendre : qui est bien un majorant de
.
Le maximum existe bien car l'ensemble est ordonné.
en même temps s'il ne l'était pas, la notion même de maximum n'aurait aucun sens
Le maximum existe bien car l'ensemble est ordonné.
Phrase écrite sans réflexion : il manque "totalement" !
Le maximum existe bien car l'ensemble est ordonné.
Phrase écrite sans réflexion : il manque "totalement" !
Sans compter la récurrence faite sans qu'on sache quelle est la propriété à démontrer.... L'hypothèse de récurrence n'a jamais été explicitée
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