Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Partie PGCD et PPCM math spec
Bonjour,
Je vosu en supplie aidez moi:
1a. Montrer que si m est un nombre entier tel que:
0<m<7
alors 77-11m n'est pas divisible par 7
En déduire que 77 ne peut pas s'écrire sous la forme 11m+7n avec
m et n entier strictement positifs
b. Soit x un entier: montrer qu'il éciste un entier m, vérifiant
0<m<=7, tel que x-11m soit divisible par 7
En déduire que, si x>77, alors x peut s'écrire sous la forme 11m+7n
avec m et n entiers strictements positifs
2. Une entreprise a besoin de 1000 pièce de même type.
Le fournisseur lui propose que ces pièces soient conditionnées par 7
ou par 11
A. Justifiez que l'entreprise peut en commander exactement 1000
B. x et y sont deux entiers relatifs:
Justifiez que l'équation 11x+7y=1 a au moins une solution
Déterminer une solution particulière de cette équation
En déduire une solution particulière de l'équation (E)
11x+7y=1000
puis résoudre cette équation (E)
Merci enormement pour votre aide
@+++
Bonjour Elise
Je n'ai fait que la partie A
1a.
Soit tu fais le calcul pour les 7 valeurs
Soit tu raisonnes par réduction à l'absurde.
Si 7 divise 77 - 11m
alors il existe k entier tel que: 77 - 11m = 7k
d'où 11 m = 7(11-k)
donc 7 divise 11m et comme 7 et 11 sont premiers
alors 7 divise m ... impossible vu les valeurs de m
1b.
D'après le théorème de Bezout, il existe u et v entiers tels que:
7 u + 11 v = pgcd(7 ; 11) = 1
en multipliant chaque membre par x
7 xu + 11 xv = x (*)
en faisant la division euclidienne de xv par 7,
il existe m et p tels que: x v = 7p + m avec 0 <= m < 7
(tu remarqueras que je n'ai pas exactement ton énoncé ???)
en reportant dans (*)
7 x u + 11 (7p + m) = x
7 (xu + 77p) = x - 11m
donc x-11m est divisible par 7.
donc il existe n tel que: x - 11m = 7 n
d'une part x > 77
d'autre part 0 <= m < 7 donc -11m > -77
en ajoutant membre à membre x - 11m > 0
Comme x - 11m = 7n
n est bien positif
Annuler
connectez vous