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partie réelle et imaginaire
Bonjour à tous,
Pouvez-vous m'aider à résoudre une équation sur nombre complexe M d'affixe z appartenant à C privé de {-2i}, on lui associe le point N
d'affixe f(x) = (2z+5i)/(z+2i)
A) on pose z = x+iy avec x et y dans R. On suppose que (x,y) différent (0,-2)
a)calculer la partie réelle et la partie imaginaire de f(z) en fonction de X et Y
b)déterminer et construire l'ensemble E des points M tels que N soit sur l'axe (O,u)
c)déterminer et construire l'ensemble F des points M tels que N soit sur l'axe (O,v)
B)
a) résoudre l'équation f(z) = 0
b) résoudre l'équation f(z) = 2
c) résoudre l'équation f(z) = 1 + i
d) m étant un nombre complexe différent de 2, résoudre l'équation f(x) = m
Difficultés : Pour la question A, je suis complètement perdue dans la résolution pour ensuite trouver X et Y. je démarre ainsi [2x+i(2y+5)][x-i(y+2)] le tout sur [x+i(y+2)][x-i(y+2)]
Je n'arrive pas aller plus loin pour pouvoir faire ressortir X et Y
Puis pour la question B, est-ce que je dois résoudre cette équation mais comment trouver DELTA ?
Merci de votre aide.
Courage
Il faut maintenant développer le numérateur et regrouper en partie réelle + i* partie imaginaire
le dénominateur, lui, est D = x² + (y + 2)² C'est un réel positif, n'y touche pas
X = Re(numérateur)/D
Y = Im(numérateur)/D
Reviens avec X et Y ou bien des questions si tu n'y arrives pas.
Pour le B, tu résous comme dans R:
a. une fraction est nulle ssi son numérateur est nul ssi 2z + 5i = 0 ssi z = ...
b.
produit en croix
on isole z dans un membre
on divise par le coefficient devant z
on remet sous forme alégébrique
A)
a)
f(z) = (2z+5i)/(z+2i)
z = x + iy
f(z) = (2x+2iy+5i)/(x+iy+2i)
f(z) = (2x+i(2y+5))/(x+i(y+2))
f(z) = (2x+i(2y+5))(x-i(y+2)/[(x+i(y+2)).(x-i(y+2))]
f(z) = [(2x²+(2y+5)(y+2)+i((2y+5)x-2x(y+2))]/[(x+i(y+2)).(x-i(y+2))]
f(z) = [2x²+2y²+9y+10 +i(2xy+5x-2xy-4x)]/[(x+i(y+2)).(x-i(y+2))]
f(z) = (2x²+2y²+9y+10 +i.x)/[(x²+ (y+2)²]
f(z) = [(2x²+2y²+9y+10)/((x²+ (y+2)²)] + i.[x/((x²+ (y+2)²)]
R(f(z)) = (2x²+2y²+9y+10)/((x²+ (y+2)²)
I(f(z)) = x /((x²+ (y+2)²)
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b)
N est sur (O,u) , signifie que l'affixe de N est réelle et que donc la partie imaginaire de f(z) pour N est = 0.
-> x = 0
Donc E est l'ensemble des points de l'axe imaginaire privé du point (0 , -2)
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c)
N est sur (O,v) , signifie que l'affixe de N est imaginaire pure et que donc la partie réelle de f(z) pour N est = 0.
-> 2x²+2y²+9y+10 = 0
x² + y² + 4,5y + 5 = 0
x² + (y + 2,25)² - 2,25² + 5 = 0
x² + (y + 2,25)² = 0,0625
x² + (y + 2,25)² = 0,25²
Donc F est l'ensemble des points du cercle de centre (0 , -2,25) et de rayon = 0,25 privé du point (0 , -2).
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Sauf distraction. 
Vérifie car une petite erreur de calcul et tout est faux.
B)
f(z) = (2z+5i)/(z+2i)
f(z) = 0
2z + 5i = 0
z = -(5/2)i.
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f(z) = 2
(2z+5i)/(z+2i) = 2
2z + 5i = 2z + 4i
5 = 4 -> c'est impossible
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f(z) = 1 + i
(2z+5i)/(z+2i) = (1+i)
(2z+5i)=(z+2i)(1+i)
2z + 5i = z + iz + 2i - 2
z(1 - i) = -3i - 2
z = (-3i-2)/(1-i)
z = (-3i-2)(1+i)/[(1-i)(1+i)]
z = (-3i-2)(1+i)/2
z = (-3i-2+3-2i)/2
z = (1-5i)/2
z = (1/2) - (5/2)i
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f(z) = m
(2z+5i)/(z+2i) = m
2z+5i = mz+2im
z(2-m) = 2im - 5i
z = i(2m-5)/(2-m)
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Sauf distraction.
Merci beaucoup pour votre aide car les calculs n'étaient pas évidents et un petit contrôle aide toujours. Si vous avez du temps, j'ai posé un autre problème pour contrôle depuis mercredi mais personne ne me répond. C'est également pour un contrôle sur la question 2). Pouvez-vous y jeter un coup d'oeil. Intitulé du problème qui semble n'intéresser personne "quatre questions indépendantes". Merci de votre aide.
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