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Parties d'un ensemble

Posté par Profil Ramanujan 25-06-18 à 18:46

Bonjour,

Soit E un ensemble de cardinal fini n. Soit A une partie de E.

Soit l'application

 \begin{array}{ll}
 \\ \varkappa_A : E &\longrightarrow  \{0,1 \} \\
 \\      x &\longmapsto 1 \  si \ x \in A
 \\      &\longmapsto 0 \  si \ x \notin A
 \\ \end{array}

On veut montrer que l'application suivante f est surjective :
 \begin{array}{ll}
 \\ \varkappa_A : P (E) &\longrightarrow  App(E,\{0,1 \}) \\
 \\      A &\longmapsto \varkappa_A
 \\ \end{array}

Je bloque sur le raisonnement suivant :

Donnons nous une application \varphi de E dans \{0,1 \}. Montrons que \varphi admet un antécédent par f. Pour cela il suffit de considérer la partie :

A=\{x \in E, \varphi(x)=1 \}

Alors \varphi = f(A)

J'ai pas compris pourquoi A est une partie de E et pourquoi  \varphi = f(A)

Posté par
SkyMtn
re : Parties d'un ensemble 25-06-18 à 18:57

Bonjour. La surjectivité signifie que chaque élément à l'arrivée peut être obtenu comme une image d'un élément de l'ensemble de départ.

Prenons une \varphi : E\longrightarrow \{0,1\} quelconque. On cherche une partie A de E telle que \varphi = \chi_A.
C'est-à-dire une partie A telle que \varphi(x) = 1 si x\in A, \varphi(x)=0 sinon.
Du coup il faudrait avoir \varphi^{-1}(\{1\}) = A, et c'est en fait la partie à considérer.
Revenons au raisonnement : posons A = \varphi^{-1}(\{1\}) = \{ x\in E \:\vert\: \varphi(x)=1\} . On vérifie bien que \varphi = \chi_A puisque les seules valeurs prises à l'arrivée sont 1 et 0...

Posté par
carpediem
re : Parties d'un ensemble 25-06-18 à 19:05

salut

c'est tellement évident !!

sais-tu ce qu'est une application h : E --> {0, 1} ?

Posté par
verdurin
re : Parties d'un ensemble 25-06-18 à 19:07

Bonsoir,
il y a une faute de frappe :

\varphi = f(A) doit sans doute être remplacer par \varphi = f(\varkappa_A)

Posté par
carpediem
re : Parties d'un ensemble 25-06-18 à 19:08

je ne crois pas ...

Posté par
verdurin
re : Parties d'un ensemble 25-06-18 à 19:09

En effet

Posté par Profil Ramanujanre : Parties d'un ensemble 25-06-18 à 20:52

carpediem @ 25-06-2018 à 19:05

salut

c'est tellement évident !!

sais-tu ce qu'est une application h : E --> {0, 1} ?


Bah oui une application qui va de E et qui prend pour valeur 0 ou 1.

Mais ici c'est compliqué, on a une application qui a pour une image une autre application.

Posté par
carpediem
re : Parties d'un ensemble 25-06-18 à 20:56

et alors ?

on a une application qui associe à un ensemble son indicatrice ...

or toute fonction de E à valeur dans {0, 1} est évidemment une indicatrice ... c'est l'indicatrice de l'ensemble des éléments de E qui ont 1 pour image ...

Posté par Profil Ramanujanre : Parties d'un ensemble 25-06-18 à 21:24

@Sky

J'ai fait une erreur de frappe c'est :

On veut montrer que l'application suivante f est surjective :
 \begin{array}{ll}
 \\ f : P (E) &\longrightarrow  App(E,\{0,1 \}) \\
 \\      A &\longmapsto \varkappa_A
 \\ \end{array}

J'ai pas compris à partir de :  "Du coup il faudrait avoir \varphi^{-1}(\{1\}) = A, et c'est en fait la partie à considérer."

Posté par
ThierryPoma
re : Parties d'un ensemble 25-06-18 à 21:40

Bonsoir,

L'on a clairement

f:\left\{\begin{array}{rcl}\mathfrak{P}(E)&\longrightarrow&\mathcal{F}(E,\,\{0,\,1\})\\X&\longmapsto&\kappa_X:=f(X):\left\{\begin{array}{rcl}E&\longrightarrow&\{0,\,1\}\\x&\longmapsto&\left\{\begin{array}{lll}1&\mbox{si }x\in{X}\\0&\mbox{sinon.}\end{array}\right.\\\end{array}\right.\\\end{array}\right.

non ?

Posté par
ThierryPoma
re : Parties d'un ensemble 25-06-18 à 21:46

Partant, soit \varphi\in\mathcal{F}(E,\,\{0,\,1\}) et posons X=\left\{\begin{array}{c|c}x&x\in{E}\mbox{ et }\varphi(x)=1\end{array}\right\}\in\mathfrak{P}(E) (à noter que X peut être vide !). La définition de X impose que f(X)=\varphi nécessairement.

Posté par
ThierryPoma
re : Parties d'un ensemble 25-06-18 à 21:51

Remarquons que l'on aurait pu considérer la partie X=\left\{\begin{array}{c|c}x&x\in{E}\mbox{ et }\varphi(x)=0\end{array}\right\} de E.

Posté par Profil Ramanujanre : Parties d'un ensemble 25-06-18 à 22:03

Ce que je comprenais pas dans le raisonnement de Sky c'est pourquoi il fallait forcément considérer \varphi^-1(\{1\})  et pas \varphi^-1(\{0\})  

Posté par Profil Ramanujanre : Parties d'un ensemble 25-06-18 à 22:11

ThierryPoma @ 25-06-2018 à 21:46

Partant, soit \varphi\in\mathcal{F}(E,\,\{0,\,1\}) et posons X=\left\{\begin{array}{c|c}x&x\in{E}\mbox{ et }\varphi(x)=1\end{array}\right\}\in\mathfrak{P}(E) (à noter que X peut être vide !). La définition de X impose que f(X)=\varphi nécessairement.


Comment justifier que c'est bien une partie de E X=\left\{\begin{array}{c|c}x&x\in{E}\mbox{ et }\varphi(x)=1\end{array}\right\}\in\mathfrak{P}(E) ?

Posté par
ThierryPoma
re : Parties d'un ensemble 25-06-18 à 22:12

Tu peux considérer ou bien \varphi^{-1}(\{1\})=\left\{\begin{array}{c|c}x&x\in{E}\mbox{ et }\varphi(x)=1\end{array}\right\}, ou bien \varphi^{-1}(\{0\})=\left\{\begin{array}{c|c}x&x\in{E}\mbox{ et }\varphi(x)=0\end{array}\right\}.

Posté par
jsvdb
re : Parties d'un ensemble 25-06-18 à 22:17

Bonjour

Ramanujan @ 25-06-2018 à 22:11

Comment justifier que c'est bien une partie de E  X=\left\{\begin{array}{c|c}x&x\in{E}\mbox{ et }\varphi(x)=1\end{array}\right\}\in\mathfrak{P}(E) ?

Dès lors qu'on écrit X = \{ x~|~{\red x\in E} \text { et }\cdots \} alors forcément X est une partie de E

Posté par Profil Ramanujanre : Parties d'un ensemble 25-06-18 à 22:17

Si X est vide il se passe quoi ?

Posté par Profil Ramanujanre : Parties d'un ensemble 25-06-18 à 22:19

@Thierry

Ok merci j'ai compris. J'avais pensé au 2ème cas en lisant mon livre mais j'étais pas sûr.

@Jsvdb

D'accord

Posté par
lafol Moderateur
re : Parties d'un ensemble 25-06-18 à 22:21

Bonjour
je me demande ce que peut bien signifier pour toi "partie de E", pour que tu ne voies pas que tout ensemble dont la description commence par \{ x\, {\red \in E} / blabla\} en est une

Posté par
lafol Moderateur
re : Parties d'un ensemble 25-06-18 à 22:22

grillée par jsvdb... je tape trop lentement !

Posté par
jsvdb
re : Parties d'un ensemble 25-06-18 à 22:25

Bonjour lafol.
Non, tu n'es pas grillée, ta remarque est plus pertinente que la mienne qui ne cherche pas à savoir ce qu'il se passe dans la tête de l'intéressé

Posté par Profil Ramanujanre : Parties d'un ensemble 25-06-18 à 22:29

En fait je pose beaucoup de questions triviale car j'essaie de tout reprendre de A à Z, et comme en prépa j'avais rien compris j'apprenais par coeur les théorèmes mais je comprenais pas les notions en profondeur.
J'espère que dans quelques mois je poserai plus de questions "débiles"

Posté par
jsvdb
re : Parties d'un ensemble 25-06-18 à 22:37

Je vais te rassurer : c'est grâce à ce que tu appelles des "questions débiles" que je démêle pas mal d'écheveaux ( et normalement, tout bon pédagogue sait en faire autant ! ... (dis tonton pourquoi tu tousses ?) )

Posté par Profil Ramanujanre : Parties d'un ensemble 25-06-18 à 23:52

carpediem @ 25-06-2018 à 20:56

et alors ?

on a une application qui associe à un ensemble son indicatrice ...

or toute fonction de E à valeur dans {0, 1} est évidemment une indicatrice ... c'est l'indicatrice de l'ensemble des éléments de E qui ont 1 pour image ...


Pourquoi toute fonction de E à valeur dans {0,1} est une indicatrice ?

Posté par
lafol Moderateur
re : Parties d'un ensemble 25-06-18 à 23:54

c'est ce que Carpediem expliquait à la fin de cette ligne .... il faut que tu apprennes à lire jusqu'au bout des lignes

Posté par Profil Ramanujanre : Parties d'un ensemble 25-06-18 à 23:57

J'ai pas compris justement
"c'est l'indicatrice de l'ensemble des éléments de E qui ont 1 pour image ..."

Posté par
carpediem
re : Parties d'un ensemble 26-06-18 à 00:08

c'est quoi la définition d'une indicatrice ?

Posté par Profil Ramanujanre : Parties d'un ensemble 26-06-18 à 00:21

Une indicatrice de A est une fonction qui prend pour valeur 1 si x est dans A et 0 sinon.

Une application \varphide E dans {0,1} a pour valeur 0 ou 1.

Ah je viens de comprendre votre remarque ici faut poser :

A=\{x \in E,  \varphi (x)=1 \}

Posté par
carpediem
re : Parties d'un ensemble 26-06-18 à 09:29

enfin !!

il serait peut-être temps de travailler avec méthode ...

par exemple lire et connaitre les définitions des objets intervenant dans un énoncé ...

Posté par
lafol Moderateur
re : Parties d'un ensemble 26-06-18 à 10:04

Ramanujan @ 26-06-2018 à 00:21

Une indicatrice de A est une fonction qui prend pour valeur 1 si x est dans A et 0 sinon.

Une application \varphide E dans {0,1} a pour valeur 0 ou 1.

Ah je viens de comprendre votre remarque ici faut poser :

\red A=\{x \in E,  \varphi (x)=1 \}
Ramanujan @ 25-06-2018 à 18:46

Bonjour,

[...]

Je bloque sur le raisonnement suivant :

Donnons nous une application \varphi de E dans \{0,1 \}. Montrons que \varphi admet un antécédent par f. Pour cela il suffit de considérer la partie :

\red A=\{x \in E, \varphi(x)=1 \}

Alors \varphi = f(A)

[...]



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