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Parties de E

Posté par snoodle150 (invité) 11-10-04 à 16:49

Merci d'avance pour votre aide

Soit XE

a) Soit ZX Combien y-a-t-il de parties Y de E telles que XY=Z?

b) Calculer Card(XY)    
              YE

Posté par
Nightmarere : Parties de E 12-10-04 à 19:45

Bonjour quand même

a) X et Y ont pour partie commune Z et on a Z\subset X\subset E donc Y vérifie la propriété voulue si il contient:

-Tout les éléments de Z
-Des éléments de E\Z qui ne sont pas dans X

donc dénombrer les Y revient à calculer le nombre de parties d'éléments de (E\Z)\X .

Soit p=card(X\Z) , n=card(E) et k=card(Z) .
p est fixe (X est fixé dans l'énoncé)
Y contient donc les k éléments de Z plus des éléments parmi les n-k-p restant ( c'est a dire parmi les élément de (E\Z)\X ).
le cardinal de Y\Z peut varier de 0 à n-k-p
Le nombre de parties de cardinal 3$j\in[0;n-k-p]_{\mathbb{N}} vaut 3$C_{j}^{n-k-p}
Il reste à sommer toutes les parties i.e à faire la somme de j=0 à j=n-k-p

on obtient le résultat :
Nombre de parties Y cherchées = 3$\sum_{j=0}^{n-k-p} C_{j}^{n-k-p}=\sum_{j=0}^{n-k-p} C_{j}^{(n-k-p)}.1^{j}.1^{(n-k-p-j)}

on reconnait le binôme de newton 3$(1+1)^{n-k-p}=\sum_{j=0}^{n-k-p} C_{j}^{n-k-p}.1^{j}.1^{(n-k-p-j)}=2^{(n-k-p)}

Conclusion :
le résultat est 2^{(card(E)-card(X/ Z)-card(Z))}=2^{(card(E)-card(X))}

La suite dans un prochain post

Posté par
Nightmarere : Parties de E 12-10-04 à 20:01

La suite :

notons q=card(X) et n=card(E)

soit k un entier compris entre 1 et card(X)=q alors le nombre de Y tels que card(X\cap Y)=k vaut C_{k}^{q}.[\sum_{j=0}^{j=n-q}(C_{j}^{n-q})]=C_{k}^{q}.2^{n-q}

Donc 3$S=\sum_{Y\subset E} Card(X\cap Y)=\sum_{k=1}^{q} k.C_{k}^{q}.2^{n-q}

En faisant intervenir la formule de Pascal on doit pouvoir réduire l'expression , c'est même sur mais bon , je te laisse travailler un peu

Posté par snoodle150 (invité)Merci 12-10-04 à 21:05

Tout d'abord bonjour, un peu en retard

Merci d'avoir répondu si vite, et si précisémment


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