Bonjour et santé à tous
Je fais suite à ce fil : Entier
C'est intéressant et on peut généraliser le problème.
Si , on appelle partition de , toute suite finie décroissante d'entiers non nuls telle que la série correspondante soit de somme
On note l'ensemble des partitions de .
Pour une partition , on note le produit des termes de la partition.
On note
L'objet du fil cité en seconde ligne était de trouver
On a les premiers termes de la suite et entre parenthèses une partition gagnante (il peut y en avoir plusieurs)
Et en rouge la différence avec le terme d'avant :
Évidemment, vu que c'est un calcul personnel, vous me dites de suite si vous voyez des erreurs.
Mais on peut d'ores et déjà constater que les grands vainqueurs sont les 2 et les 3.
Cette suite est à continuer et à étudier.
Mais je m'aperçois que
si une partition gagnante est de la forme avec n termes, la suivante est constituée de n+1 termes
puis la suivante avec est constituée de n+1 termes
puis la suivante est constituée de n+1 termes
et on recommence.
Si cette hypothèse est exacte, ne devrait poser de soucis
Bonjour et merci pour cette proposition de généralisation
En utilisant les arguments de verdurin et la division euclidienne de n par 3, on trouve 3 cas :
M(3q) = 3q
M(3q+1) = 3q-14 = 3q-122
M(3q+2) = 3q2
Au début je me suis dit qu'on avait été vite à la conclusion en ne testant que les nombres jusqu'à 12.
Voyant que ça avait toujours l'air vrai jusqu'à 100, je me suis demandé pourquoi
Si on relâche le problème dans les réels, il devient: maximiser p=bq avec s=bq constant.
Autrement dit, .
Une dérivée plus tard et on obtient , peut importe .
C'est donc déjà moins surprenant de voir les facteurs 2 et 3 qui sont les entiers qui encadrent e.
Il doit y avoir une preuve par récursion ceci dit
Oui, on peut faire intervenir le nombre e.
On peut aussi être plus terre à terre :
Si un entier a figure dans la somme, peut-on le remplacer par b et c tels que b+c =a et bc-a > 0 ?
Si a est pair, on peut choisir b = c = a/2 .
On a alors bc-a = a(a-4)/4 . Positif si a 5 .
Si a est impair, on peut choisir b = (a-1)/2 et c = (a+1)/2 .
On a alors bc-a = ((a-2)2-5) / 4 . Idem.
Donc pas de facteur 5.
En ajoutant que 4 = 2+2 = 2x2, on peut retirer les facteurs 4.
Et avec 2+2+2 = 3+3 et 2x2x2 = 8 < 3x3 = 9, on ne peut pas avoir plus de deux 2.
Les 1 étant inutiles pour toute somme > 1.
On a donc au plus deux 2 et sinon que des 3
La définition de jsvdb pour une partition de n ne dit jamais que les facteurs doivent être positifs (juste non-nuls), en utilisant des facteurs négatifs, on peut rendre le produit aussi grand que l'on veut
Pour toute décomposition s (avec p > 0) de n, la décomposition s' donne un produit plus grand.
s' = s + 2 - 2 +2 - 2 => p' = p x 2 x -2 x 2 x -2 = p x 16 > p
Mais je crois que c'est plutôt un trou dans l'énoncé
Il me semble que quand on ne précise pas, entier = entier naturel.
Mais bon, je n'ai pas du tout l'intention d'entrer dans ce type de débat futile.
Donc précisons :
En effet, la preuve par récursion ne nécessite pas que la formule soit une récurrence. D'ailleurs ce n'est pas cette récurrence que je voulais prouver mais la formule close de Sylvieg.
Mais sa démonstration est bien plus simple qu'une preuve par récursion:
Admettons que la formule soit juste jusqu'à n-1:
Si :
Alors soit , soit , soit .
Si :
Donc
Si :
Donc
Si :
Donc
La formule est donc juste pour si elle est juste pour
Il est facile de vérifier qu'elle est juste pour et donc elle est juste pour
Voilà une démonstration par récursion. Celle de Sylvieg est quand même bien plus belle et évidente.
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