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Posté par
carpediemre : Partition et relation d'équivalence 30-06-19 à 19:21

ben non ... mais comme c'est la définition comme te le dit verdurin ben il n'y a rien à montrer ...

Posté par Profil Ramanujanre : Partition et relation d'équivalence 30-06-19 à 19:29

Dans mon livre il était écrit :

On pourra commencer par démontrer que \forall x \in A tel que A \in \mathcal{U} on a : cl(x)=A

C'est peut être évident pour vous car vous avez de la bouteille, mais peut être pas pour des étudiants de première année.

Posté par
carpediemre : Partition et relation d'équivalence 30-06-19 à 19:40

mais bon sang jette ton livre à la poubelle ...

si tu as une partition U d'un ensemble E et si tu définis la relation d'équivalence R par :   x  R  y \iff  \exists A \in U  : x \in A $ et $ y \in A

alors par définition d'une classe d'équivalence :  \forall A \in U  :  \forall x \in A:  cl(x) = A

et il n'y a rien à montrer puisque par définition  :  \forall x \in E  :  x \in cl(x)

Posté par
lionel52re : Partition et relation d'équivalence 30-06-19 à 19:53

Ramanujan

Ramanujan @ 30-06-2019 à 19:29

Dans mon livre il était écrit :

On pourra commencer par démontrer que \forall x \in A tel que A \in \mathcal{U} on a : cl(x)=A

C'est peut être évident pour vous car vous avez de la bouteille, mais peut être pas pour des étudiants de première année.


Après sans vouloir te vexer, tu n'as pas non plus le niveau de compréhension d'un étudiant de première année

Posté par Profil Ramanujanre : Partition et relation d'équivalence 30-06-19 à 20:30

@Carpediem
Je ne vois pas comment vous passez de :

x  R  y \iff  \exists A \in U  : x \in A $ et $ y \in A à  \forall A \in U  :  \forall x \in A:  cl(x) = A

Vous dites "par définition d'une classe d'équivalence."

La définition est : cl(x) = \{ y \in E  , \exists A \in U , x \in A $ et $ y \in A \}

Je ne vois pas en quoi par définition ça vaut A

A  \subset cl(x) est évident car x \in cl(x) mais l'autre inclusion est à démontrer.

Posté par Profil Ramanujanre : Partition et relation d'équivalence 30-06-19 à 20:46

Il y a une chose bizarre :

\forall x \in E, x \in cl(x)

Ça veut dire que E \subset cl(x) ?

Pour montrer A  \subset B il faut montrer \forall x  \in A, x \in B
Mais ici l'ensemble cl(x) dépend de x.
Donc ce résultat est-il utilisable ?

Posté par
lionel52re : Partition et relation d'équivalence 30-06-19 à 20:50

cl(x) dépend de x...

Posté par Profil Ramanujanre : Partition et relation d'équivalence 30-06-19 à 21:19

Oui donc A \subset cl(x) ne provient pas de x \in cl(x)

On a pris x \in A avec A \in \mathcal{U}.
Si on prend y \in A, on a bien trouvé un ensemble A \in \mathcal{U} tel que x \in A et y \in A. Donc y \in cl(x)
Donc A \subset cl(x)

Sinon l'égalité cl(x)=A peut se trouver avec de l'intuition et en faisant un dessin, ça je suis d'accord avec vous.

Posté par
lafol Moderateurre : Partition et relation d'équivalence 30-06-19 à 21:34

Ramanujan @ 30-06-2019 à 17:56

Quelqu'un pourrait me dire ce qui est faux dans \forall x \in A, \forall A \in \mathcal{U}, cl(x)=A ?


si tu ne vois pas tout seul que le premier A n'est pas défini ....

Posté par
carpediemre : Partition et relation d'équivalence 30-06-19 à 21:43

Ramanujan @ 30-06-2019 à 20:30

Vous dites "par définition d'une classe d'équivalence."

La définition est : cl(x) = \{ y \in E  , \exists A \in U , x \in A $ et $ y \in A \}
pas du tout !!!

par définition cl(x) = {y E / x R y}

et il n'y a pas de A la dedans ...

Posté par Profil Ramanujanre : Partition et relation d'équivalence 30-06-19 à 21:48

carpediem @ 30-06-2019 à 21:43

Ramanujan @ 30-06-2019 à 20:30

Vous dites "par définition d'une classe d'équivalence."

La définition est : cl(x) = \{ y \in E  , \exists A \in U , x \in A $ et $ y \in A \}
pas du tout !!!

par définition cl(x) = {y E / x R y}

et il n'y a pas de A la dedans ...


Oui c'est la définition générale, j'ai juste remplacé xRy par ce qui lui est équivalent.

Mais où voulez vous en venir ?

Posté par
verdurinre : Partition et relation d'équivalence 30-06-19 à 22:07

Peut-être faut-il rappeler ce qu'est une partition.

Une partie \mathcal U de \mathfrak{P}(E) est une partition de E si et seulement si :

      {\color{blue}(1)}\quad\emptyset \not\in \mathcal{U}

      {\color{blue}(2)}\quad\bigcup_{X\in \mathcal{U}}X=E

      {\color{blue}(3)}\quad\forall(A\,,B)\in \mathcal{U}^2\quad A\neq B\implies A\cap B =\emptyset

On définie la relation R par x\,R \,y \iff \exists A\in\mathcal{U}\ x\in A \land y\in A.

Soit x\in E et A_x un élément de \mathcal{U} tel que x\in A_x.
Cet élément de \mathcal{U} existe d'après (2).

Et il est immédiat que A_x\subset\text{cl}(x)

Prenons maintenant y\in \bar{ A_x} d'après (3) il n'existe aucun B dans \mathcal{U} tel que y\in B \land x\in B. Donc y\not\in \text{cl}(x)

D'où \bar{A_x}\subset\bar{\text{cl}(x)}.

Et enfin  \text{cl}(x)=A_x.

Posté par Profil Ramanujanre : Partition et relation d'équivalence 30-06-19 à 22:18

@Verdurin
Jolie démonstration. Vous avez fait la contraposée. On peut faire aussi sans la contraposée.

Posté par
verdurinre : Partition et relation d'équivalence 30-06-19 à 22:45

Bien sur.
Je crois que tu aurais du le faire avant de commencer ce fil.

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