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Partition et relation d'équivalence
Ramanujan
Bonsoir,
Soit une partition de
. Montrer que :
est une relation d'équivalence dont les classes sont les éléments de
.
Je bloque dès la réflexivité. Je dois montrer que :
Bonsoir,
si est une partition de
alors, par définition d'une partition, quelque soit
dans
, il existe un unique
dans
tel que
Ah d'accord merci, j'avais oublié d'utiliser la condition :
La symétrie c'est évident.
Pour la réflexivité. Soient . Supposons que
et que
.
Ainsi : et
Et là je bloque 
Il s'agit d'une partition donc si x est dans A avec y et si y est dans B alors x est dans B et comme z est dans B ... il y a transitivité.
Supposons par l'absurde que :
On sait que :
Mais
Donc ce qui est absurde.
Pour montrer que toutes les classes sont des éléments de , il faut montrer que :
?
Tu te compliques beaucoup la vie en voulant être formel.
Certes
Mais, par définition d'une partition, un élément x de E appartient à un unique élément de
Montrons que
Soit .
Il faut montrer que c'est-à-dire qu'il existe un élément
tel que
Mais après je bloque.
Bonsoir
une partition ne contient pas l'ensemble vide
donc il existe au moins un x dans A
et par définition de la relation d'équivalence, A = la classe de ce x
Soit .
@Lafol
Vous dites que c'est évident, mais j'aimerais démontrer que :
Par définition :
Montrons que
Soit . Il existe donc
tel que
.
Donc . Si
, comme
est une partition de
, on trouve
ce qui est absurde.
Donc et ainsi
.
On a montré
On est parti de et on a trouvé un
tel que
. Donc
est une classe d'équivalence.
Mais je m'emmêle les pinceaux, quelle inclusion a-t-on montré dans l'égalité : en montrant que
?
Montrons que
[ . . . ]
@Ramanujan
Les choses peuvent être résumées simplement dans un bon français.
Si E est une partition d'un ensemble X (bien entendu, chaque élément de la partition n'est jamais l'ensemble vide), alors on dit que deux objets de X sont équivalents s'ils sont éléments d'un même membre de la partition.
Que cela soit une relation d'équivalence entre éléments de l'ensemble X est quasiment une évidence.
Du coup, tous les éléments équivalents à un élément x donné est précisément l'ensemble des membres du membre de la partition où se trouve x (oui, il y a deux degré de membres : ceux de la partition, et les éléments d'un membre de la partition)
Exemple trivial et appétissant : j'ai des bonbons dans quatre sachets, je dis que pour un bonbon x donné, un bonbon y lui sera équivalent s'il est dans le même sachet que x.
La classe d'équivalence du bonbon x est donc formée de tous les bonbons qui se trouvent dans le même sachet que x.
il y a deux degré de membres : ceux de la partition, et les éléments d'un membre de la partition
C'est précisément ce que verdurin met en évidence dans son message juste au dessus.
Ok Verdurin vous avez raison ! Je ne suis pas habitué à manipuler les partitions.
Sinon pourrions nous revenir à mon exercice ? Car vos explications, je ne vois pas trop le lien avec l'exercice proposé.
Comment montrer que les classes sont les éléments de ?
salut
franchement jsvdb a tout dit dans son msg de 00h21 ...
bon ensuite il complique avec ces deux niveaux de membre ...
si E est un ensemble et une partition de E alors deux éléments x et y sont en relation ou sont équivalents) s'ils sont dans le même ensemble
de la partition
et tout se dit en français simplement ...
Le bon français ne m'aide pas trop, je préfère le formalisme des démonstrations.
car ici la démonstration peut-être certes formalisée mais beaucoup plus riche d'apprentissage quand elle est fait en français ...
et le formalisme n'est qu'une traduction symbolique de ce qui est dit en français ...
"si E est un ensemble et une partition de E alors deux éléments x et y sont en relation ou sont équivalents) s'ils sont dans le même ensemble
de la partition"
C'est justement ce qu'il faut démontrer ici. Et je n'ai pas compris pourquoi on montre que
Comme disait un de nos grands hommes, ce qui se conçoit bien s'énonce clairement.
Le fait de préférer jargonner, que ce soit en formalisation mathématique à outrance ou dans tout autre domaine, n'est souvent que le symptôme d'une incompréhension profonde des notions sous-jacentes...
"si E est un ensemble et
C'est justement ce qu'il faut démontrer ici. Et je n'ai pas compris pourquoi on montre que
Ce n'est pas ce qu'il faut démontrer ! C'est précisément ce que dit la définition de la relation d'équivalence de ton exercice !
Comme disait un de nos grands hommes, ce qui se conçoit bien s'énonce clairement, ...
...et les mots pour le dirent arrivent aisément ... donc
Le fait de préférer jargonner, n'est etc etc
N'ayons pas peur de citer ce merveilleux passage de Nicolas BOILEAU :
Il est certains esprits dont les sombres pensées
Sont d'un nuage épais toujours embarrassées ;
Le jour de la raison ne le saurait percer.
Avant donc que d'écrire apprenez à penser. (ça va faire plaisir à carpediem)
Selon que notre idée est plus ou moins obscure,
L'expression la suit, ou moins nette, ou plus pure.
Ce que l'on conçoit bien s'énonce clairement,
Et les mots pour le dire arrivent aisément.
Boileau, Art poétique, Chant I, v147
Et pour ceux qui auraient des soucis pour travailler et retravailler, un des passages suivants est :
Hâtez-vous lentement ;
et, sans perdre courage, Vingt fois sur le métier remettez votre ouvrage :
Polissez-le sans cesse et le repolissez ;
Ajoutez quelquefois, et souvent effacez.
A lire et méditer ...
Le bon français ne m'aide pas trop, je préfère le formalisme des démonstrations.
personnellement, j'y vois là une explication à ton incomprehension de sujets parfois très simples....à méditer peut-être....
a méditer surement ...
Le fait de préférer jargonner, [***] n'est souvent que le symptôme d'une incompréhension profonde des notions sous-jacentes...
Bonsoir,
Soit
Je bloque dès la réflexivité. Je dois montrer que :
PS : je n'ai fait qu'un copier-clooer de ta ligne latex et remplacer y par x ...
@Carpediem
J'ai réussi à montrer que c'est une relation d'équivalence, c'est la suite qui me pose problème.
Tu remplaces y par x dans ta définition et c'est fini.
Ce que je disais dès le début
Bon finalement j'ai trouvé le raisonnement. Pour moi la difficulté principale était de penser à l'égalité . Une fois qu'on a montré cela, le reste coule de source.
Montrons que : tout ensemble appartient à si et seulement si cet ensemble est une classe d'équivalence de
sur
.
Montrons que toute classe est élément de
Soit .
est une partition de
ainsi il existe
, tel que
.
Or
est bien une classe d'équivalence et c'est bien un élément de
Réciproquement, montrons que tout élément de est une classe d'équivalence.
Soit .
est une partition donc
.
Ainsi,
On en déduit que
On a montré qu'il existe un élément tel que
.
est donc une classe d'équivalence.
On a montré que si alors
est une classe d'équivalence.
L'équivalence est démontrée.
Pour moi la difficulté principale était de penser à l'égalité
Si tu as réussi à démontrer cela c'est que tu nous dépasse tous !
Je n'ai pas compris l'erreur 
Comment doit-on écrire les quantificateurs quand on écrit ? Je sais juste que
et
.
Par ailleurs, je n'ai pas compris pourquoi
Salut Ramanujan,
Peux-tu me rappeler ce que tu veux montrer , et peux-tu préciser si c'est un exercice tiré de ton livre ou un exercice que tu as personnellement rédigé?
Sinon, si on sait que et
On a puisque l'on a au moins l'élément x dans
, et puisque par définition
et par hypothèse
et que
est une partition, on a
ou
, on conclut donc que
On a
Je retire cette partie, à remplacer par :
C'est un exercice de mon livre.
J'étais dans la démonstration du résultat suivant : toutes les classes d'équivalence sont des éléments de
Pour cela, l'indication du livre était de démontrer que pour avec
on a :
J'ai réussi l'inclusion
Pour la seconde, je pense que vous m'avez donné la réponse.
Etant donné que (résultat du cours), en fixant
on obtient que :
ce qui est équivalent à
Etant donné que
Tout choupi... ça doit vraiment être le gros théorème de ce chapitre...
Ce n'est pas un théorème 
Bon en fait j'avais encore faux. J'ai confondu les variables.
Soit avec
. On a :
Soit un élément de
. Alors
. Donc
On a montré
trois jours pour quelque chose qui est d'une rare évidence et trivialité !!!
1/ que signifie la proposition : R est une relation d'équivalence sur un ensemble E ?
2/ quelle conséquence sur l'ensemble E ?
3/ si U est une partition de E quelle relation d'équivalence évidente peut-on produire ?(réciproque de 2/)
1/ Elle est réflexive, symétrique et transitive.
2/ Pas compris la question.
3/ La relation d'équivalence définie dans cet exercice. 2 éléments de sont en relation si et seulement si ils appartiennent au même ensemble de la partition.
Bonjour
Pourquoi tu ne prends pas un exemple simple pour comprendre? Considérons la relation R définie dans E par 1 R 1.
C'est manifestement une relation d'équivalence et il y a une seule classe d'équivalence
\ qui définit une partition de E:
Maintenant soit la partition de E. Elle définit une relation au sens que tu as donné dans ton premier post, qui est exactement définit 1 R 1.
Tu peux recommencer avec et la relation définie par
1 R1 , 1 R2 , 2 R 1 , 2R 2 et 3 R3.
Autrement dit, une relation d'équivalence définit une partition de l'ensemble sur lequel elle est définie. Mais cette partition caractérise la relation d'équivalence.
@XZ19
Avec votre exemple je comprends encore moins qu'avant. Incompréhensible pour moi. Je ne sais même pas ce que signifie "définir une partition" ou "caractériser une relation d'équivalence."
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