Inscription / Connexion Nouveau Sujet

1 2 +


Niveau exercices
Partager :

Pas tout à fait Syracuse

Posté par
Sylvieg Moderateur
23-08-20 à 18:13

Bonjour,
L'entier naturel a est impair.
On considère la suite d'entiers naturels non nuls qui vérifie
Pour tout n de \;
un+1 = un/2 \; si un est pair
un+1 = un + a \; si un est impair.

Démontrer que la suite (un) est périodique à partir d'un certain rang.

Cet exercice est inspiré de Etude d une suite d'entier
Il y figure deux questions préliminaires qui peuvent aider.
Je n'ai pas trouvé de solution simple.

Posté par
Imod
re : Pas tout à fait Syracuse 23-08-20 à 18:55

Bonjour,

Les indices dans ce genre d'exercices sont souvent très orientés et n'aident vraiment que ceux qui sont sur la même longueur d'onde . J'utiliserais plutôt u_{n+2}\leq \frac{u_n}2 +a , le reste est assez simple .

Imod

Posté par
flight
re : Pas tout à fait Syracuse 23-08-20 à 19:23

salut Sylvieg , est ce qu'on connait le terme initial Uo ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Pas tout à fait Syracuse 23-08-20 à 20:47

Non, c'est un entier naturel non nul. On ne sait rien de plus.

Posté par
ty59847
re : Pas tout à fait Syracuse 23-08-20 à 21:26

La suite est bornée. Aucun terme ne peut dépasser u0+a  ( ou 2a si u0<a)
La suite étant bornée, il y a forcément au moins un terme par lequel elle passe une infinité de fois. (2 fois suffisent en fait) Et du coup, la suite est périodique.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Pas tout à fait Syracuse 23-08-20 à 21:56

D'accord ty59847
Utilises-tu l'inégalité de Imod, ou as-tu fait autrement ?

Posté par
ty59847
re : Pas tout à fait Syracuse 23-08-20 à 22:38

Non, je ne partais pas sur cette piste.

Posté par
LittleFox
re : Pas tout à fait Syracuse 24-08-20 à 07:25


Peut-on caractériser les cycles?

Par exemple, il existe un seul cycle de longueur 2, un seul cycle de longueur 3 et un seul de longueur 4:
a -> 2a -> a
a/3 -> 4a/3 -> 2a/3 -> a/3
a/7 -> 8a/7 -> 4a/7 -> 2a/7 -> a/7

Posté par
dpi
re : Pas tout à fait Syracuse 28-08-20 à 15:21

Bonjour,
Absent quelques jours,j'ai toujours du plaisir en rentrant

On remarque que si a=2 quel que soit le départ  on  n'a pas de cycle.

Posté par
LittleFox
re : Pas tout à fait Syracuse 28-08-20 à 15:54

Sylvieg @ 23-08-2020 à 18:13

Bonjour,
L'entier naturel a est impair.
[...].


2 ne me semble pas très impair

Posté par
dpi
re : Pas tout à fait Syracuse 28-08-20 à 16:11

Fallait bien que je la fasse

Posté par
lake
re : Pas tout à fait Syracuse 28-08-20 à 19:28

Bonjour,

Je me décide à poster :

Tout entier naturel M s'écrit sous la forme unique  2^n\,Nn est un entier naturel éventuellement nul lorsque M est impair et N impair.
À partir de cette prémisse, j'étais persuadé d'aboutir.
Je n'y suis pas parvenu.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Pas tout à fait Syracuse 31-08-20 à 12:28

Bonjour,
Pas très disponible ces temps-ci, mais je regarde et réfléchis sur vos réponses
Je reprends l'idée de ty59847 en fusionnant les 2 cas dans cette inégalité :
un sup(a,u0) + a .
Avec une démonstration par récurrence (un peu indélicate ? ) :

 Cliquez pour afficher
Il y a peut-être plus simple.

Je regarderai plus tard pour les cycles de LittleFox

Posté par
Imod
re : Pas tout à fait Syracuse 31-08-20 à 18:45

@Sylvieg :

 Cliquez pour afficher

je préfère mon inégalité qui donne la même solution d'une façon qui me semble moins artificielle , les goûts et les couleurs ...

Imod

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Pas tout à fait Syracuse 03-09-20 à 22:54

Bonsoir,
J'ai commencé à regarder les cycles.
Effectivement il n'y a qu'un type de cycle de longueur 2, de longueur 3, de longueur 4 (qui ne soit pas en fait de longueur 2).

Il y a un cycle trivial de longueur T en partant de \; a / (2T-1-1) .
Avec a multiple impair de \; 2T-1-1 .

Il y a deux types de cycles de longueur 5 : Le trivial et un autre.

C'est tout pour le moment

Posté par
Imod
re : Pas tout à fait Syracuse 04-09-20 à 11:04

Pour les cycles j'ai regardé sous un autre angle en fixant a , il y a des choses amusantes à noter . On peut faire varier le premier terme de la suite dans l'intervalle [1,2a] et regarder la boucle finale . Je l'ai fait à la main pour les 8 premières valeurs de a , c'est en fait assez simple car on tombe assez vite sur les mêmes boucles .

En fonction de a donc :

Le nombre de boucles : 1 ; 2 ; 2 ; 3 ; 3 ; 2 ; 2 ; 5 .

Taille de la plus grande boucle : 2 ; 3 ; 6 ; 5 ; 9 ; 15 ; 18 ; 7 .

Choses curieuses à noter pour a donné :

Il n'y a deux boucles de la même taille .

Le cardinal de l'ensemble des valeurs prises par les boucles est exactement \frac{3a+1}2  .

Imod

Posté par
dpi
re : Pas tout à fait Syracuse 04-09-20 à 12:14

Bonjour ,
J'ai testé au hasard:
u137 et a11
la boucle est 12  6  3  14  7  18  9  20  10  5  16  9  4  2  1 soit 15 valeurs
aurais-je compris que  3a+1/2=17 ??

Posté par
Imod
re : Pas tout à fait Syracuse 04-09-20 à 12:43

Il faut que tu ajoutes la boucle de taille 2 : 11->22->11 pour obtenir le total de 17 .

Imod

Posté par
ty59847
re : Pas tout à fait Syracuse 04-09-20 à 13:57

Explication du décompte de (3a+1)/2 :
On a tous les nombres entre 1 et a,
plus les nombres pairs de a+1 jusqu'à 2a. (=les doubles des nombres entre (a+1)/2 et a )

Posté par
Imod
re : Pas tout à fait Syracuse 04-09-20 à 17:47

En effet

En fait pour une même valeur de a , il peut y avoir plusieurs cycles de même taille et j'ai l'impression que pour une infinité d'entre elles il n'y a que 2 cycles :

Le cycle trivial : a -> 2a -> a

Et un autre : 1 -> a+1 -> (a+1)/2 -> ... -> ... -> 1 .

En tout cas c'est vrai pour a = 3 , 5 , 11 , 13 , 19 , ...

Imod

Posté par
dpi
re : Pas tout à fait Syracuse 04-09-20 à 17:57

>Imod
Je te donne ma boucle ,pas vu 2 11 22 11

Pas tout à fait Syracuse

Posté par
Imod
re : Pas tout à fait Syracuse 04-09-20 à 18:13

@Dpi

Je me suis mal expliqué , nous ne parlons pas de la même chose .

Pour a=11 , la plus grande boucle est de taille 15 comme sur ton exemple .

Mais il y a une deuxième boucle : 11 ->22 ->11 .

Il y a en tout 17 termes dans l'ensemble des boucles .

Imod

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Pas tout à fait Syracuse 05-09-20 à 06:54

Bonjour,
@Imod,

Citation :
Choses curieuses à noter pour a donné :

Il n'y a deux boucles de la même taille .

Si je traduis par "Il n'y a pas deux boucles de la même longueur", que dire de a = 105 pour lequel je trouve deux boucles de longueur 5 ?

7 112 = 716 .... 7
Et
45 150 75 180 90 45

Mais j'ai peut-être mal compris ce que tu veux dire

Posté par
dpi
re : Pas tout à fait Syracuse 05-09-20 à 08:58

Bonjour,
Je viens de comprendre :
La boucle générale  B1  fait place à  B2   =(a,2a,a ) quand  u=ka
et il semblerait à une troisième  boucle B3 quand  a=k u  avec  k>1.
  

Posté par
Imod
re : Pas tout à fait Syracuse 05-09-20 à 09:33

Tu as bien compris Sylvieg , je mettais rendu compte de mon erreur et j'avais corrigé au message suivant

Un autre exemple , pour a=17 , il y a deux boucles de taille 12 .

Imod

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Pas tout à fait Syracuse 05-09-20 à 10:43

D'accord, tu t'étais rendu compte
Mais dans

Citation :
Le nombre de boucles : 1 ; 2 ; 2 ; 3 ; 3 ; 2 ; 2 ; 5 .

Taille de la plus grande boucle : 2 ; 3 ; 6 ; 5 ; 9 ; 15 ; 18 ; 7 .
je ne comprends pas ce que représente la première ligne, ni le lien entre les 2 lignes.

Posté par
Imod
re : Pas tout à fait Syracuse 05-09-20 à 11:01

J'aurais mieux fait de réaliser un tableau à la Dpi , ça aurait été plus clair .

La première ligne représente le nombre de boucles quand a = 1 , 3 , 5 , ...

La deuxième ligne la taille de la plus grande boucle , toujours pour a= 1 , 3 , 5 , ...

Une chose amusante , quand a = 15 , la taille des boucles est : 2 , 3 , 5 , 6 , 7 . Il ne manque que le 4 pour faire carton plein .

Imod

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Pas tout à fait Syracuse 05-09-20 à 11:28

Merci.
J'ai continué dans mon optique (ou plutôt celle de LittleFox) :
Il y a deux types de cycles de longueur 6 : Le trivial et un autre.
Idem pour la longueur 7.

Posté par
verdurin
re : Pas tout à fait Syracuse 06-09-20 à 18:07

Bonsoir,
il me semble qu' Imod a énoncé une conjecture intéressante :

Citation :
Le cardinal de l'ensemble des valeurs prises par les boucles est exactement \frac{3a+1}2.
Ce qui veut dire que tous les entiers strictement positifs inférieurs à a sont dans une boucle.
Expérimentalement ça semble vrai.
Mais ce n'est pas démontré et je n'ai pas vraiment d'idée pour le faire.
Quelqu'un en a-t-il une ?

Posté par
verdurin
re : Pas tout à fait Syracuse 06-09-20 à 18:22

Pour préciser avec un exemple :
en partant de u0=5 avec a=3 on ne repasse jamais par la valeur 5 qui n'est donc pas dans une boucle.
Comment montrer que l'on ne peut pas avoir un phénomène de ce genre pour une valeur de u0 inférieure à a ?

Posté par
ty59847
re : Pas tout à fait Syracuse 07-09-20 à 01:10

Effectivement,
la 1ère implication est assez évidente à démontrer :  si n est dans une boucle alors n est dans la liste des (3a+1)/2 valeurs détectées
Mais l'implication réciproque n'est pas aussi évidente : si n est dans cette liste des (3a+1)/2 valeurs, alors est-il dans une boucle ?  

On peut s'intéresser à une suite compressée :
U0 quelconque ... mais on va se limiter aux U0 inférieurs à a
Un+1 = Un/2 si Un est pair et Un+1=(Un+a)/2 si Un impair.

On a donc une suite avec des termes tous entre 1 et a-1.
Et on a même une structure parfaitement symétrique :
on a les 2 bornes 0 et a , on va noter ces 2 bornes b1 et b2 pour mettre en avant cette symétrie. b1 et b2 ne sont pas de même parité.
Un+1 =( Un+ b1)/2 ou Un+1 =(Un+b2)/2,  sachant qu'on choisi soit b1, soit b2, on choisit celui qui est de même parité que Un.

Cette présentation un peu différente donne une autre vision, mais ça ne prouve toujours pas que tout élément de l'intervalle ]b1, b2[ serait dans une boucle.

Posté par
ty59847
re : Pas tout à fait Syracuse 07-09-20 à 09:20

Donc, suite du précédent message, en regardant toujours la suite compressée, où tous les termes sont dans l'intervalle ]b1,b2[, on a une certaine fonction f, celle définie par Un+1 = f(Un)
Cette fonction est une bijection (je l'affirme, c'est un peu court, il faudrait certainement mieux argumenter ce point).
Si on note g la bijection inverse, g est définie par :
g(x) = b1 + 2 (x-b1) si ce nombre est dans l'intervalle ]b1,b2[ (c.a.d si x est plus proche de b1 que de b2)

g(x) = b2 + 2 (x-b2) si ce nombre est dans l'intervalle ]b1,b2[ (c.a.d si x est plus proche de b2 que de b1)


Quelque soit le point de départ U0, on sait que la suite va boucler à partir d'un certain élément.
Supposons que U0 ne soit pas dans cette boucle, et soit p l'indice du premier élément qui est dans cette boucle.
Du coup Up aurait 2 antécédents par la fonction f : un des antécédents est Up-1, qui n'est pas dans la boucle, et l'autre est dans la boucle.
Et c'est contradictoire avec le résultat : f est une bijection.
Donc U0 est nécessairement dans la boucle 'finale'.
Cqfd

Posté par
dpi
re : Pas tout à fait Syracuse 07-09-20 à 11:48

>ty59847
Il me semble que u_{0} est dans la boucle que si  est a+1

Posté par
ty59847
re : Pas tout à fait Syracuse 07-09-20 à 14:20

Je regardais une suite légèrement différente de la suite initiale, celle que j'ai appelée la suite 'compressée' .
Je l'ai définie de [0,a-1] vers [0, a-1], mais on pourrait l'étendre au point a, et donc la définir de [1,a] vers[1,a]

Posté par
LittleFox
re : Pas tout à fait Syracuse 07-09-20 à 14:42

Sylvieg @ 05-09-2020 à 11:28

Merci.
J'ai continué dans mon optique (ou plutôt celle de LittleFox) :
Il y a deux types de cycles de longueur 6 : Le trivial et un autre.
Idem pour la longueur 7.


Je suis d'accord avec la longueur 6 mais pour la longueur 7 j'ai 4 cycles:

En notant 'a' l'opération x -> x+a et '2' l'opération x -> x/2, en partant de :
a/63 j'ai le cycle a222222;
3a/31 j'ai le cycle a2a2222;
5a/31 j'ai le cycle a22a222;
7a/15 j'ai le cycle a2a2a22.
(a doit être un multiple impair du dénominateur).

Jusqu'ici, je pense qu'on a une bijection entre les cycles possibles et les mots composés de 'a' et '2' tel que deux 'a' ne soient jamais adjacents et que le mot ne soit pas périodique (on ne peut pas le couper en n morceaux identiques).

Les mots (et les cycles) qui ne change que par une rotation sont considérés identiques (a222a2 = 222a2a = 22a2a2 = 2a2a22 = a2a222 = 2a222a).

On retrouve la suite A006206 de l'oeis:

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Pas tout à fait Syracuse 07-09-20 à 17:46

@LittleFox,
Impossible de remettre la main sur ce que j'ai fait pour la longueur 7
En fait, il est vraisemblable que je ne l'avais pas traité.
J'étais tombée sur 5a/31 avec le cycle a22a222 en travaillant sur la longueur 6. Ça, j'en ai la trace.
Je l'aurais recopié sur une feuille résumé avec le trivial a/63 ; et quand j'ai repris mes notes quelques jours après, j'ai sans doute cru que j'avais terminé la longueur 7.

Pour compenser, je donne les deux de longueur 5 et 6.
Longueur 5 : En partant du trivial \; a/15 \; avec le cycle \; a2222 , et de \; 3a/7 \; avec le cycle \;a2a22 .
Longueur 6 : En partant du trivial \; a/63 \; avec le cycle \;a22222 , et de \; a/5 \; avec le cycle \;a2a222 .

J'aime bien ta notation pour décrire les cycles, et merci pour le lien

Posté par
verdurin
re : Pas tout à fait Syracuse 08-09-20 à 18:59

Salut.
Je veux surtout dire merci à ty59847.

L'approche de LittleFox me semble très intéressante, mais j'ai continué sur la piste d'Imod.
Il est clair que si a est un multiple de b et que b présente un cycle de longueur k alors a présente un cycle de longueur k.
Mais les cycles obtenus à partir d'un nombre donné ( même premier ) semblent quand même assez imprévisibles.
Par exemple
en prenant a=41 on a deux cycles de longueur 30 et un de longueur 2 ;
en prenant a=43 on a trois cycles de longueur 21 et un de longueur 2 ;
en prenant a=47 on a trois cycles de longueurs respectives 32, 37 et 2.

Posté par
LittleFox
re : Pas tout à fait Syracuse 08-09-20 à 20:59


On reprend tout et on combine tout

Je reprend la notation compressée de ty59847:
Si au lieu des opérations x -> x+a et x -> x/2, on prend les opérations x -> (x + a)/2 et x -> (x+0)/2, tout cycle du premier système s'écrit dans le second et vis-versa.
Dans le second, il est évident que tout x dans [1, a] restera dans [1, a] et que tout x > a mènera à un x inférieur et donc il ne peut y avoir de cycle que dans [1,a] et il y a au moins un cycle.

On peut montrer comme Imod le fait remarquer que le cardinal est (3a+1)/2 pour le premier système en montrant qu'il est a pour le second.
En effet, tout x dans [1,a] a un (et un seul) prédécesseur dans [1,a]: Soit x est plus grand que a/2 et 2x-a est dans [1, a]. Soit 2x est dans [1,a] (Et jamais les deux en même temps).

On peut changer ma notation en la compressant en remplaçant 'a2' par '1' et '2' par '0'.
On peut trouver une belle relation pour tout x qui est départ d'un cycle de longueur n.

Regardons le cycle a22a2a2a2a2a22a222222 de longueur 21 pour a=43.
En notation compressée, ça donne 10111110100000. On a :
x -10111110100000-> x
x -1011111010000-> 2x
...
x -101111101-> 32x
x -10111110-> 64x-a
x -1011111-> 128x-2a
x -101111-> 256x-5a
...
x --> 214x-381a
=> x = 381a/(214-1) => x = a/43

On retrouve le 2T-1-1 de Sylvieg ou presque. En effet, on a nécessairement une relation de la forme x = 2Tx - Ka.

On peut voir aussi que 10111110100000 est la notation inversée en binaire de 381 (10111101).
On peut voir aussi que les deux autres séquences (qui commencent par 3 et 7) correspondent à l'inverse de la notation en binaire sur 14 bits de 3(214-1)/43 = 1143 (00010001110111) et 7(214-1)/43 = 2667 (00101001101011).

Et ça, ça n'est pas une coïncidence
Pourquoi une longueur de 14? Parce que 214 est la plus petite puissance de 2 qui laisse un reste de 1 lors de la division par 43.

Dans le premier système, la longueur du cycle est cette puissance plus le nombre de 1 dans la notation du quotient. Ce qui est un peu plus variable.

Je trouve ça pas mal comme résultats

Posté par
verdurin
re : Pas tout à fait Syracuse 08-09-20 à 22:07

Ça m'a l'air très intéressant
Mais je ne suis pas sur de tout bien comprendre.
Je regarderais précisément plus tard, et j'essayerais d'autres exemples.

En tous cas merci beaucoup

Posté par
ty59847
re : Pas tout à fait Syracuse 09-09-20 à 00:53

Continuons à 'prendre du recul'.

On a notre suite compressée ... de [1,a] vers [1,a].  Et on a une parfaite symétrie : 4 donne 2, qui donne 1, et de la même façon, a-4 donne a-2, puis a-1  

a est impair, donc a est de la forme 2k+1.
Et donc on peut s'intéresser à une autre suite, définie sur [-k,k]
Si x est pair, g(x)=x/2, sinon g(x)= (x-2k-1)/2.
En particulier g(0)=0

Cette nouvelle suite est la copie exacte de la suite étudiée. Mais on voit mieux la symétrie. On a juste  recodé les nombres entre (a+1)/2 et a-1 ,
(a+1)/2 devient -k,
...
a-2 devient -2
a-1 devient -1
et a devient 0.  

Posté par
ty59847
re : Pas tout à fait Syracuse 09-09-20 à 01:05

Correctif/complément

Continuons à 'prendre du recul'.

On a notre suite compressée ... de [1,a] vers [1,a].  Et on a une parfaite symétrie : 4 donne 2, qui donne 1, et de la même façon, a-4 donne a-2, puis a-1  

a est impair, donc a est de la forme 2k+1.
Et donc on peut s'intéresser à une autre suite, définie sur [-k,k]
Si x est pair, g(x)=x/2,
sinon si x est positif : g(x)= (x-2k-1)/2, et si x est négatif, g(x)=(x+2k+1)/2
n particulier g(0)=0

Cette nouvelle suite est la copie exacte de la suite étudiée. Mais on voit mieux la symétrie. On a juste  recodé les nombres entre (a+1)/2 et a-1 ,
(a+1)/2 devient -k,
...
a-2 devient -2
a-1 devient -1
et a devient 0.

Et comme g est une bijection, et que les divisions, c'est embétant, on peut s'intéresser à la bijection inverse, notée h :
h(x)=2x si 2x est dans l'intervalle [-k,k]
h(x)=2x+2k+1 si 2x n'est pas dans l'intervalle [-k,k], et x négatif
h(x)=2x-(2k+1) si 2x n'est pas dans l'intervalle [-k,k], et x positif


  

Posté par
LittleFox
re : Pas tout à fait Syracuse 09-09-20 à 12:25


J'aime bien l'idée d'utiliser la bijection inverse.
Au final on a juste une multiplication par 2 modulo a.

Posté par
ty59847
re : Pas tout à fait Syracuse 09-09-20 à 15:35

Effectivement, multiplication par 2 modulo a, c'est une formulation plus concise, et ça doit renvoyer vers des théories connues.

J'ai fait quelques tests, avec la dernière formulation ( intervalle [-k,k] ...)
Résultat n°1 : les boucles ont toutes la même longueur , avec un petit arrangement : Par exemple, pour k=101 (ou a=203 avec l'autre notation), les boucles ont une longueur de 84,  ou un diviseur de 84
Résultat n°2 : dans chaque boucle, la somme des termes donne systématiquement 0 !

C'est un constat expérimental, ce n'est pas démontré.

Posté par
Imod
re : Pas tout à fait Syracuse 09-09-20 à 17:02

Oui , avec la fonction g : x -> 2x on rentre dans la théorie classique des anneaux . Trouver la taille des boucles réduites revient à déterminer l'ordre de 2 dans le groupe multiplicatif (\mathbb{Z}/a\mathbb{Z})^*

Posté par
Imod
re : Pas tout à fait Syracuse 09-09-20 à 17:23

La somme nulle sur les cycles de ty59847 se justifie instantanément en remarquant que si 2 est d'ordre k et S=2^0+2^1+\cdots 2^{k-1} alors S=2^k-2^0=0 .

Imod

Posté par
Imod
re : Pas tout à fait Syracuse 09-09-20 à 18:59

Il n'y a pas de formule fermée donnant l'ordre de 2 dans ces groupes . Il faut voir en plus que la taille des boucles de cette fontion n'est pas réellement celle de la fonction initiale mais on doit pouvoir trouver le nombre de boucles et dans certains cas particuliers la taille de chacune d'entre elles . Mais là , c'est une autre histoire

Imod

Posté par
ty59847
re : Pas tout à fait Syracuse 09-09-20 à 23:32

Merci à Sylvieg pour la question, merci à chaque intervenant qui a amené se pierre à l'édifice. Je ne sais pas si on a fait le tour de la question, mais j'ai vraiment apprécié ce petit travail d'équipe

Posté par
LittleFox
re : Pas tout à fait Syracuse 11-09-20 à 09:43

Posté par
Imod
re : Pas tout à fait Syracuse 12-09-20 à 11:29

Même si on ne pourra jamais dévisser complètement le problème , on peut en extraire quelques énigmes amusantes

U_0 est choisi au hasard dans un intervalle [[0,M]] avec M très grand . Quelle est la plus petite valeur de a pour laquelle la suite  U_n a moins d'une chance sur 1000 de ne jamais passer par 1 ?

Imod

PS : le travail collaboratif , je n'aime que ça

Posté par
verdurin
re : Pas tout à fait Syracuse 12-09-20 à 14:37

Salut Imod.
Pour ton énigme, si on prend a=32 767 on a moins d'une chance sur 1000 de tomber sur 1.
Je soupçonne que c'est la plus petite valeur qui convient.

1 2 +


Répondre à ce sujet

Seuls les membres peuvent poster sur le forum !

Vous devez être connecté pour poster :

Connexion / Inscription Poster un nouveau sujet
Une question ?
Besoin d'aide ?
(Gratuit)
Un modérateur est susceptible de supprimer toute contribution qui ne serait pas en relation avec le thème de discussion abordé, la ligne éditoriale du site, ou qui serait contraire à la loi.


Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !