Bonjour,

tout d'abord, on peut remarquer que 1 est racine évidente.
On peut donc écrire :
P(x) = x^4+x^3-4x²+x+1
P(x) = (x-1)(ax^3+bx²+cx+d)

On peut trouver les valeurs des coefficients a,b,c,d par identification.
(ou par division polynomiale si vous avez appris cette méthode, mais
ca ne doit pas être le cas)
P(x) = ax^4+(b-a)x^3+(c-b)x²+(d-c)x+(-d)
D'où le système :
a=1
b-a=1
c-b=-4
d-c=1
-d=1

Donc :
a=1
b=2
c=-2
d=-1

D'ou l'écriture de P(x) :
P(x) = (x-1)(x^3+2x²-2x-1)
Et là, on sait toujours pas résoudre directement une équation du 3ème
degré (le second facteur), mais on constate -oh surprise !- que 1
est une fois de plus racine évidente !
On dit que 1 est une "racine double" du polynome P(x).

On peut donc écrire :
P(x) = (x-1)²(a'x²+b'x+c')
Il ne reste plus qu'à déterminer les coefficients a', b',
c', en utilisant là aussi l'identification.
On résoud alors l'équation du second degré a'x²+b'x+c'=0
pour trouver la ou les éventuelle(s) autres solutions à l'équation
P(x)=0.

Je vous laisse finir seul, ca ne devrait pas poser de problème