Utilise le lemme d'Abel pour la convergence simple.
La convergence normale ne pose aucun problème...
La convergence uniforme me parrait moins triviale, je pense qu'on est dans les conditions du théorème de convergence dominée, mais je ne sais plus ce que ca implique (oups....)

C'est bien ce que je pensais, la CD ne donne rien sur le mode de la convergence, mais uniquement sur la limite.

Après 1minute, je me suis rendu compte que l'on pouvait s'en sortir très facilement avec un argument proche de celui de la CD, regarde ce que tu fais avec une bonne majoration... (par exemple, prend la suite de fonction similaire, où le x n'apparait plus)