Bonjour,
Je penses que tu as fait une erreur d'énoncé
en effet pour n=3 on aurait 1/6 > 1/4 ce qui est FAUX bien sûr !!!

Correction de la récurrence :
(Pn) : 1/(n!)<=1/2^(n-1)
Initialisation
(P1) : 1/(1!)<=1/2^(1-1) est évident !

Hérédité
(Pn) => (Pn+1) : n>=1 donc n+1>=2 donc 1/(n+1)<=1/2 donc 1/(n!)*1/(n+1)<=1/2^(n-1)*1/2 (hyp de réc) donc 1/(n+1)!<=1/2^n cqfd
D'où le résultat ...
A bientôt.

en effet, il y avait une erreur dans l'énoncé.
elle a été corrigé et je vous en remercie.
je vous remercie egalement de la reponse apportée.

cependant, je ne parviens toujours pas a trouver pourquoi la suite est majorée par 3; c'est la question 2, je pensais pouvoir y repondre en ayant la reponse a la première question.
encore merci de votre aide

ou plutot, comment montrer que 1/2ⁿ≤3 ?
ca parait evident mais je suppose qu'il faut le demontrer.

personne ne voit comment en déduire que la suite est majorée par 3 ?

salut,
si si !!!
c'est évident tu fais une petite récurrence et le tour est joué ...

2ème solution
tu majores la suite (un)par
la somme des 1/(2^k) pour k=0 à k=n
ce qui correspond à une suite géométrique de 1er terme 1 et de raison 1/2
Cette somme vaut donc Sk = (1-1/(2^(n+1)))/(1-1/2)
qui converge vers 2 quand n-> + inf
Donc Sn < 2
D'où un < 2 < 3 cqfd

A bientôt ....

Merci,
mais je ne comprend pas le coup de la majoration.
et je n'arrive pas a montrer par récurrence que Un<3, comment faire ?

personne ne peut m'expliquer ? (pour un pauvre élève siouplait )

up

Bonjour,
Ta suite est
U_n = 1 + 1/1! + 1/2! + ... + 1/n!
tu as déjà montré que
1/k! < (1/2)^k-1
ce qui veut dire que
pour k = 1: 1/1! < (1/2)⁰
pour k = 2: 1/2! < (1/2)¹
...
pour k = n: 1/n! < (1/2)^n-1
En faisant la somme de toutes ces inégalités et en ajoutant 1, tu arrives à
U_n< 1 + [(1/2)⁰+(1/2)¹+ ...+(1/2)^n-1]
La deuxième partie du deuxième membre est la somme des termes d'une suite géométrique. Utilise une formule du cours pour la calculer. Et ensuite vérife que le second membre est bien inférieur à 3
Bon courage