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pb de trigo!!
On considére un triangle ABC de cotés BC=2a , AC=AB=3a, a étant un réel positif fixé. On note A' le milieu de [BC] et H l'Orthocentre du triangle.
Soit une mesure de l'angle BAC. Je doit montrer Qque cos= 7/9
calculer AA' et je trouve AA'= a rac8
je trouve cos(/2)=AA'/AB=rac8/3=2rac2/3
ensuite je trouve cos = cos(2*/2)=2cos²(2rac2/3) -1 et aprés je doit simplifier pour obtenir 7/9 mais je ne sais pas comment faire.
Puis j'ai B' le projeté orthogonal de B sur (AC). Je doit calculer B'A/B'C et en déduire deux réels a et c tels que B' soit le barycentre du systeme : (A ; a) (C ; c)
Merci d'avance pour votre aide
J'appelle x l'angle BAC.
BC = 2a
BA' = a
AB = 3a
Dans le triangle AA'B:
BA' = AB sin(x/2)
a = 3a . sin(x/2)
sin(x/2) = 1/3
cos(x) = 1-2sin²(x/2)
cos(x) = 1 - (2/9)
cos(x) = 7/9
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Pythagore dans le triangle AA'B:
AB² = AA'²+ BA'²
9a² = AA'² + a²
AA'² = 8a²
AA' = V8 .a
Aire(ABC) = (1/2).BC.AA'
Aire(ABC) = (1/2).2a.V8 .a
Aire(ABC) = V8 .a²
Aire(ABC) = (1/2).AC.BB'
V8 .a² = (1/2).3a.BB'
BB' = (2/3)V8.a
Dans le triangle rectangle BB'A:
AB² = BB'² + AB'²
9a² = (4/9).8.a² + AB'²
AB'² = a²(9 - (32/9))
AB'² = (49/9)a²
AB' = (7/3)a
B'C = AC-AB'
B'C = 3a - (7/3)a
B'C = (2/3)a
B'A/B'C = (7/3)/(2/3)
B'A/B'C = 7/2
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