salut

exo 1 :

2*[sin(x)]^3+[cos(x)]²-5*sin(x) - 3 = 0

cos²(x)=1-sin²(x)

donc on a 2*[sin(x)]^3-[sin(x)]²-5*sin(x) - 2 = 0

on pose X=sin(x)

ce qui fait 2*X^3-X²-5X-2=0

-1 est solution evidente de cette equation.

methode d'Horner :

       2       - 1      -5       -2

-1

       2       - 3      -2        0

donc 2*X^3-X²-5X-2=(X+1)*(2X²-3X-2)

2*X^3-X²-5X-2=0 <=> X+1=0 ou 2X²-3X-2=0
pour 2X²-3X-2=0, 2 est solution et -1/2

donc les solutions de 2*X^3-X²-5X-2=0 sont -1,2,-1/2.

mais l'inconnue est x.

il reste a resoudre

sin(x)=-1
sin(x)=2
et sin(x)=-1/2.

sin(x)=-1 <=> x=-Pi/2+2kPi, k dans Z.
sin(x)=2 pas de solution dans R.
sin(x)=-1/2 <=> x=-Pi/6+2kPi ou x=-5Pi/6+2k*Pi

conclusion les solutions de 2*[sin(x)]^3+[cos(x)]²-5*sin(x) - 3 = 0 sont de la forme x=-Pi/2+2kPi ou x=-Pi/6+2kPi ou x=-5Pi/6+2k*Pi k dans Z.

pour la deuxieme meme principe. on pose X=sin(x).

exo 2.

resoudre sin(3x)=-sin(2x)

sin(3x)=sin(-2x).

sin(3x)=sin(-2x) <=> 3x=-2x+2k*Pi ou 3x=Pi+2x+2kpi k dans Z.

sin(3x)=sin(-2x) <=> 5x=2kPi ou x=Pi+2kPi

sin(3x)=sin(-2x) <=> x=2kPi/5 ou x=Pi+2kPi k dans Z.

pour les solutions dans R c'est fait.

on veut ensuite les solutions dans ]-Pi,Pi[.

a partir des solutions dans R on prend celles qui sont dans cet intervalle.

c'est donc x=-4Pi/5, -2Pi/5, 0, 2Pi/5,ou 4Pi/5



pour la question suivante :

cours => sin(a+b)=sin(a)*cos(b)+cos(a)*sin(b)
       et sin(2a)=2*sin(a)*cos(b)
       et cos(2a)=2*cos²(a)-1

donc sin(3x)=sin(x)*cos(2x)+cos(x)*sin(2x)
  et sin(3x)=sin(x)*[2*cos²(x)-1]+2*cos²(x)*sin(x)
sin(3x)=sin(x)*[2*cos²(x)-1+2cos²(x)]=sin(x)*[4*cos²(x)-1]

enfin la derniere

cos(5a) = 16*[cos(a)]^5-20*[cos(a)]^3+5*cos a ?



remarque :
**********

on calcule avant tout :
cos(3x)=cos(2x)*cos(x)-sin(2x)*sin(x)=[2cos²(x)-1]*cos(x)-2*cos(x)*sin²(x)=[2cos²(x)-1]*cos(x)-2*cos(x)*[1-cos²(x)]

donc cos(3x)=4*[cos(x)]^3 - 3*cos(x)


revenons en a cos(5a).

cos(5a)=cos(3a)*cos(2a)-sin(3a)*sin(2a)

or cos(3a)= 4*[cos(a)]^3 - 3*cos(a) d'apres la remarque.
et sin(3a)=sin(a)*[4*cos²(a)-1] (d'apres exo precedent)

donc cos(5a)=[4*[cos(a)]^3 - 3*cos(a)]*cos(2a)-sin(a)*[4*cos²(a)-1]*sin(2a)

cos(5a)=[4*[cos(a)]^3 - 3*cos(a)]*(2cos²(a)-1)-2*cos(a)*sin²(a)*[4*cos²(a)-1]

cos(5a)=[4*[cos(a)]^3 - 3*cos(a)]*(2cos²(a)-1)-2*cos(a)*[1-cos²(a)]*[4*cos²(a)-1]


"y'a plus qu'a developper"

cos(5a)=8cos^5(a)-10cos^3(a)+3cos(a)+[2cos^3(a)-2cos(a)]*(4cos²(a)-1)

cos(5a)=16*cos^5(a)-20*cos^3(a)+5*cos(a)

a+.

Comme le dit le titre je te remercie beaucoup de m'avoir énormément éclairer, de d'être investie pour m'aidez c'est très gentil de ta part merci beaucoup.
Sans abuser de ta gentillesse j'ai quelque petite question sur ce que tu m'as répondu:
- tu as utilsé une méthode que tu as apellé méthode d'Horner?Comment tu as fait parce que c'est à l'air très pratique mais je l'ai jamais vu...
- Est ce que (k2pi)/5 est pareil que pi/5 + k2pi ? je pense pas. Mais comment représenter (k2pi/5) dans un cercle trigonométrique?
- J'ai pas vraiment compris comment tu as fait pour passer dans solutions trouvées dans R a celle trouvé dans l'intervalle ]-pi;pi[. Si y'avait possibilité que tu m'explique...
- merci de m'avoir donné la formule cos ^{[/sup]x=1sin[sup]}x parce que je ne la connaissais pas.

voila j'espère que tu véra ce message et que ca te dérangera pas de me répondre encore merci
bonne nuit

salut.

"tu as utilsé une méthode que tu as apellé méthode d'Horner?Comment tu as fait parce que c'est à l'air très pratique mais je l'ai jamais vu..."

si tu ne l'a pas vu il ne faut pas l'utiliser.

j'ai utilise cette methode pour factoriser 2*X^3-X²-5X-2 par (X+1)

par contre on peut le faire comme ca on cherche a,b tels que :

2*X^3-X²-5X-2=(X+1)*(2X^2+aX+b) on developpe et on identifie les coefficients pour trouver a et b.


"Est ce que (k2pi)/5 est pareil que pi/5 + k2pi ? je pense pas."

c'est exact car 0 est dans l'ensemble k2PI/5 et non Pi/5+k2Pi.

par contre pourquoi cette remarque ?

ensuite :

"Mais comment représenter (k2pi/5) dans un cercle trigonométrique?"

on prends les differentes valeurs de k :
cercle trigonometrique represente k2Pi/5 pour k2Pi/5 dans [-Pi,Pi[ (modulo 2Pi)

k=-3 -6Pi/5 -> on n'est pas dans l'intervalle non.
k=-2 -4Pi/5 on est dans l'intervalle , on la represente.
k=-1,0,1,2 idem
k=3 meme chose que k=-3 (d'ailleurs 6Pi/5=2Pi-4Pi/5=-4Pi/5[2Pi], et -4Pi/5 deja fait)

voila pour la representation.

"J'ai pas vraiment compris comment tu as fait pour passer dans solutions trouvées dans R a celle trouvé dans l'intervalle ]-pi;pi[."

d'apres ce qui vient juste d'etre fait, ca devrait aller tout seul.

neanmoins soit S l'ensemble des solutions de l'equation 2*[sin(x)]^3+[cos(x)]²-5*sin(x) - 3 = 0, x dans R.

les solutions de cette equation ,x dans ]-Pi,Pi[ sont
S inter ]-Pi,Pi[.

on prend les elements de S qui sont dans ]-Pi,Pi[.


"merci de m'avoir donné la formule cos x=1sinx parce que je ne la connaissais pas"

hum je n'ai jamais donne cette formule ,non ? (d'ailleurs cos(x)=1-sin(x) est une formule FAUSSE)
j'ai dit que [cos(x)]²=1-[sin(x)]²
cela vient du fait que [cos(x)]²+[sin(x)]²=1.

si tu as d'autres questions, n'hesite pas.
a+

Encore moi...
- Par rapport à la méthode que tu ma donné pour remplacé celle d'Horner que j'ai pas vu. Je la comprend tt a fait (normal je les vu)mais comment tu sais si c'est (x-1) ou (x+1) que tu met en facteur?
- "Est ce que (k2pi)/5 est pareil que pi/5 + k2pi ? je pense pas."
c'est exact car 0 est dans l'ensemble k2PI/5 et non Pi/5+k2Pi.
par contre pourquoi cette remarque ?
J'ai fait cette remarque parce que dans l'énoncé on nous demande de représenter les solutions et k2pi/5 est une solution et je sais pas comment la représenter. Tu ma expliquer comment faire en remplacant par des valeur de k si j'ai bien compris mais comment tu sais jusqu'a tu va? par exemple là tu a fait de -3 à 3 et pk pas de -5 à 5 ou autre? tu vois ce que je veux dire ?
- oui pour la formule excuse moi c'est moi qui est oublié de mettre les carrés!
- g encore une autre dsl d'abusé...
G compris comment tu as fait pour répondre aux questions que je t'ai posé (jvoulé pa recopier betement) c'est d'ailleur pour ca que j'ai pas tt mi pour pouvoir ac t méthodes faire d'autres exo seulement j'ai un problème (snif). Si ca t'énerve ce dont je comprendrais tt à fait tu zappes mais si tu peux m'aider encore merci... Alor le pbl est le suivant:
- c'est la suite de l'exercice 2 que j'ai posté ou tu ma gentiment répondu. Et en faite la question c'est
En déduire que l'équation (1) cad sin3x=-sin2x est équivalente à sin x (4cos^2+2cos x-1)=0 mais c bon en fait g trouvé en écrivant le sujet il m'est venu une idée et c'était la bonne!!!
- mais j'en ai une autre lol comment on fait pour trouver les valeur exacte de cos ou sin? par exemple de cos 2pi/5 ?
encore merci pour tout ss indiscrétion tu fé koi ds la vie? parce que ta lair callé en maths!!

salut

comment tu sais si c'est (X-1) ou (X+1) que tu met en facteur?

"on voit" que X=-1 est solution evidente de l'equation
(remplace X par -1 et tu verras ca fait 0)
donc on peut factoriser par X+1.
comme c'etait 2*X^3-X²-5X-2, c'est a dire polynome de degre 3 et qu'on divise par X+1 polynome de degre 1 on doit avoir Q polynome de degre 2 tel que 2*X^3-X²-5X-2=(X+1)*Q.

Q est de degre 2 donc de la forme c*X^2+a*X+b

2*X^3-X²-5X-2=(X+1)*(c*X^2+a*X+b)

on developpe : (X+1)*(c*X^2+a*X+b)=c*X^3+(a+c)*X^2+(a+b)*X+b

donc on a c*X^3+(a+c)*X^2+(a+b)*X+b=2*X^3-X²-5X-2

normalement dans ton cours tu as :
deux polynomes sont egaux si et seulement si ils sont de meme degre et si leurs coefficients respectifs sont egaux.

donc c=2 (pour X^3)
a+c=-1 (pour X^2)
a+b=-5 (pour X)
b=-2 (pour coefficient constant)

donc c=2 (dans mon premier message j'avais zappe ceci car a force d'etudier ce genre de choses,on commence a avoir l'habitude)
a=-3 b=-2

donc  2*X^3-X²-5X-2=(X+1)*(2X²-3X-2)

"comment tu sais jusqu'a tu va? par exemple là tu a fait de -3 à 3 et pk pas de -5 à 5 ou autre? tu vois ce que je veux dire ?"

la aussi je suis alle vite.

on cherche k tel que -Pi<2kPi/5<Pi
donc -5/2<k<5/2

comme k dans Z k ne peut etre egal qu'a -2,-1,0,1 ou 2


pour la suite :

sin(3x)=sin(x)*[4*cos²(x)-1]

-sin(2x)=-2sin(x)*cos(x)

donc sin(3x)=-sin(2x) <=> sin(x)*[4*cos²(x)-1]=-2sin(x)*cos(x)

sin(3x)=-sin(2x) <=> sin(x)*[4*cos²(x)+2cos(x)-1]=0
sin(3x)=-sin(2x) <=> sin(x)=0 ou 4*cos²(x)+2cos(x)-1=0

resoudre sin(x)=0 (deja fait) et ce n'est pas interssant pour la suite.

par contre 4*cos²(x)+2cos(x)-1=0 oui

on pose X=cos(x)
donc  4*cos²(x)+2cos(x)-1=0 devient 4X²+2X-1=0
discriminant : 20
deux solutions reelles distinctes x1 et x2
x1=[-1+V5]/4 et x2=[-1-V5]/4

maintenant c'est la que ca devient interessant :

on a vu que 2Pi/5 est solution de sin(3x)=-sin(2x)
donc c'est solution de sin(x)*[4*cos²(x)+2cos(x)-1]=0

or sin(2Pi/5) different de 0 donc 2Pi/5 est solution de 4*cos²(x)+2cos(x)-1=0

donc cos(2Pi/5) est solution de  4X²+2X-1=0
or ceci n'a que 2 solutions une negative et l'autre positive.
2Pi/5 est dans [0,Pi/2] donc cos(2Pi/5)>0
donc cos(2Pi/5)=x1=[-1+V5]/4

reste sin(2Pi/5)
or cos²(2Pi/5)+sin²(2Pi/5)=1

donc sin²(2Pi/5)=1-cos²(2Pi/5)=1 - [-1+V5]²/16
2Pi/5 dans [0,Pi] donc sin(2Pi/5)>0
donc sin(2Pi/5)=V{1 - [-1+V5]²/16}

enfin, ne t'excuse pas de poser des questions.

je suis la pour aider (c'est a dire je viens sur le forum donc si j'ai decide de venir c'est pas pour me tourner les pouces, lol)

enfin , j'apprecie de plus que tu poses des questions car cela montre que tu as lu ma reponse et que tu as reflechi a ce que j'ai dis.

je prefere 100 fois quelqu'un qui pose une question (meme la plus facile) que quelqu'un qui se dit je vais recopier et ca ira tout seul.

derniere chose il n'y a pas de questions idiotes ou enervantes.
il vaut mieux se poser toutes les questions possibles et inimaginables sur un chapitre ou un sujet que d'arriver a un devoir surveille et se dire " ah au fait, comment ...? "

pour conclure, je dirais que tes remerciements m'ont fait plaisir et pour repondre a la derniere question de ton message , j'ai fait quelques annees d'etude de maths et en ce moment je suis magasinier.

a+
ps. et surtout si tu as d'autres questions, pose les sur cet exo (meme post), ou sur un autre chapitre (alors post different), j'essaierais de t'y repondre et au pire si je ne peux pas je suis sur que quelqu'un trouvera une reponse.

c'est de nouveau moi!
encore merci pour toute l'aide que tu m'as apporté!
j'ai pas tout à fait compris le dernier message que tu m'as posté sur le K et sur comment trouver la valeur des cos ou sin mais il fau que je m'y plonge davantage dedans pour bien comprendre tout ce dont tu as fait...mais au pire je reviendrais te poser quelque question...!!
j'espère si j'ai d'autre problème tomber sur toi parce que tu expliques vraiment bien!!encore merci et si j'ai (encore!!) besoin je te fais signe merci