Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Pb démonstration par récurrence
Salut à tous les matheux d'ilemaths.Voilà j'ai un gros problème de démontration par récurrence que je n'arrive pas à résoudre.
Voilà le texte:
Pour tout entier k
1, on note k!(ce qui se lit "factorielle k") le produit des k premiers entiers non nuls.
Montrer que pour tout n1,
k*k! = (n+1)!-1 (avec bien sur k variant de 1 à n)
PS:Je vous remercie d'avance pour votre aide.
Je mes S à la place du signe Sigma.
Supposons S(k=1 à n) [k.k!] = (n+1)! - 1 vraie pour une certaine valeur m de n; on a alors:
S(k=1 à m) [k.k!] = (m+1)! - 1
On ajoute (m+1).(m+1)! des 2 cotés ->
S(k=1 à m) [k.k!] + (m+1).(m+1)! = (m+1)! - 1 + (m+1).(m+1)!
S(k=1 à m+1) [k.k!] = (m+1)! - 1 + (m+1).(m+1)!
En remarquant que (m+1)! = (m+2)!/(m+2) ->
S(k=1 à m+1) [k.k!] = (m+2)!/(m+2) - 1 + (m+1).(m+2)!/(m+2)
S(k=1 à m+1) [k.k!] = [(m+2)!/(m+2)].(1+m+1) - 1
S(k=1 à m+1) [k.k!] = [(m+2)!/(m+2)].(m+2)] - 1
S(k=1 à m+1) [k.k!] = (m+2)! - 1
Qui est l'expression S(k=1 à n) [k.k!] = (n+1)! - 1 dans laquelle n = m+1
----
Donc on vient de montrer que si l'expression S(k=1 à n) [k.k!] = (n+1)! - 1 est vraie pour n = m, elle est aussi vraie pour n = m+1
----
Comme l'expression S(k=1 à n) [k.k!] = (n+1)! - 1 est vraie pour n = 1, elle est également vraie pour n = 2.
Comme l'expression S(k=1 à n) [k.k!] = (n+1)! - 1 est vraie pour n = 2, elle est également vraie pour n = 3.
Et ainsi de proche en proche, S(k=1 à n) [k.k!] = (n+1)! - 1 est vraie pour tout n de N*.
-----
Sauf distraction. 
Bonjour,
S(1;n)=(n+1)!-1?
Vrai pour n=1 puisque 1*1!=2!-1
Si l'égalité est vraie pour n (S(1;n)=(n+1)!-1), est-elle vraie pour n+1?
S(1;n+1) = S(1;n) + (n+1)(n+1)!
S(1;n+1) = (n+1)!-1 + (n+1)(n+1)!
S(1;n+1) = (n+1)!(1+n+1) - 1
S(1;n+1) = (n+2)! - 1
...
Annuler
connectez vous