5.vecteur(KI)-2.vecteur(KJ) = 0
5.vecteur(KI) = 2.vecteur(KJ)  
Cela signfie que KI et KJ sont parallèles, comme de plus KI et KJ ont
un point commun (K), les points K, I et J sont alignés.
Comme Iet J sont sur la droite d'équation : y=x, K sera aussi sur
cette droite.
On a donc: K(X , X) , il suffit de déterminer X.

5.vecteur(KI) = 2.vecteur(KJ)  
->
5.|KI| = 2.|KJ|   (1)
On calcule |KI| et |KJ| à partir des coordonnées de K, I et J.

|KI| = racine[(X-(1/2))² + (X-(1/2))²]
|KI| = (X-(1/2)*racine(2)

|KJ| = racine[(X-(3/4))² + (X-(3/4))²]
|KJ| = (X-(3/4)*racine(2)

Dans (1) ->
5*(X-(1/2)*racine(2) = 2*(X-(3/4)*racine(2)
5*(X-(1/2)= 2*(X-(3/4)

5X - (5/2) = 2X - (3/2)
3X = 1
X = 1/3

On a donc: K(1/3 ; 1/3)
--------------------------------------------------

Remarque:
Si au lieu de la relation donnée: 5.vecteur(KI)-2.vecteur(KJ) = 0 ,
on avait eut la relation:
5.vecteur(KI)+2.vecteur(KJ) = 0    

La relation (1) du problème aurait alors été:
5.|KI| = - 2.|KJ|   (1)

Il manque quelques parenthèses dans ma réponse précédente, la voici
corrigée.
--------------------

5.vecteur(KI)-2.vecteur(KJ) = 0  
5.vecteur(KI) = 2.vecteur(KJ)  
Cela signifie que KI et KJ sont parallèles, comme de plus KI et KJ ont
un point commun (K), les points K, I et J sont alignés.
Comme Iet J sont sur la droite d'équation : y=x, K sera aussi sur
cette droite.
On a donc: K(X , X) , il suffit de déterminer X.  

5.vecteur(KI) = 2.vecteur(KJ)  
->
5.|KI| = 2.|KJ|   (1)
On calcule |KI| et |KJ| à partir des coordonnées de K, I et J.

|KI| = racine[(X-(1/2))² + (X-(1/2))²]
|KI| = (X-(1/2))*racine(2)

|KJ| = racine[(X-(3/4))² + (X-(3/4))²]
|KJ| = (X-(3/4))*racine(2)

Dans (1) ->
5*(X-(1/2))*racine(2) = 2*(X-(3/4))*racine(2)
5*(X-(1/2))= 2*(X-(3/4))

5X - (5/2) = 2X - (3/2)
3X = 1
X = 1/3

On a donc: K(1/3 ; 1/3)