salut
n'est ce pas plutot :
Exprimer x en fonction de X ?

6*X=1/(x-1)
donc comme X different de 0 1/(6X)=x-1
donc 1/(6X)+1=x
f(x)-(x+1/6)=x*[e^(1/(6x-6))-1]-1/6
f(x)-(x+1/6)=(1/(6X)+1)*[e^X-1]-1/6

or 1/(6X)+1=(1/X)*(1/6+X)

donc f(x)-(x+1/6)=(1/X)*(1/6+X)*[e^X-1]-1/6
f(x)-(x+1/6)=([e^X-1]/X)*(1/6+X)-1/6
c)ceci est un taux d'accroissement, non ?
soit F(X)=e^X
F est derivable en 0.
on calcule son nombre derivé n :
n=lim [(F(h)-F(0))/h]
h->0
et (F(h)-F(0))/h=(e^h-e^0)/h=(e^h-1)/h

donc n=lim(e^h-1)/h
h->0

or F est derivable sur R.elle admet une derivé et sa dérivée est F'(X)=F(X)=e^X
F'(0)=e^0=1
donc n=F'(0)=1

donc lim(e^h-1)/h=n=1
     h->0

donc limite ((e^X-1)/X)=1
X->0

enfin si tu calcules (avec la limite dernierement calculée) :
lim [f(x)-(x+1/x)]=1/6-1/6=0
x->+inf
car comme X = 1/(6x-6)
si x->+inf X->0 (et meme X->0+)

de meme
lim [f(x)-(x+1/x)]=1/6-1/6=0
x->-inf
car si x->-inf X->0(et meme X->0- )

une fois demontree ces 2 limites en +inf et -inf, regarde la definition d'une asymptote dans ton cours.
par le calculs de ces 2 limites, on peut conclure.
"la droite d'équation y = x + (1/6) est asymptote en +inf et -inf".

Joyeux Noel, toi aussi (meme si c'est un peu tot).

a+

oui c'était bien x en fonction de X.
Merci pour ton aide ça ma beaucoup fais avancer dans mon DM

A+