Bonsoir,

Pour calculer EI, on se place dans le triangle AEI rectangle en A
avec EA=a et AI=aV2/2. On utilise le théorème de Pythagore.
Pour EJ, on se place dans le triangle AFJ rectangle en F (en fait EJ=EI).
Pour IJ, on se place dans le triangle BGD, I est le milieu de [BD] et
J est le milieu de [BG] donc IJ=GD/2 et GD est la longueur de la
diagonale d'un carré (aV2) donc IJ=aV2/2.
Pour l'angle IEJ, on utilise le fait que le triangle EIJ soit équilatéral
(si je ne me trompe pas).

@+

Dans le triangle rectangle EAI rectangle en A.

EI² = AE² + AI²
EI² = AE² + (1/4).AC²
EI² = a² + (1/4).AC²

Dans le triangle rectangle ADC rectangle en D.
AC² = AD² + DC²
AC² = a² + a² = 2a²

EI² = a² + (1/4).2a²
EI² = (3/2)a²
EI = V(3/2). a    (avec V pour racine carrée)

Soit K le point milieu de [BC]
Dans le triangle rectangle IKJ rectangle en K:
IK² + KJ² = IJ²

avec IK = KJ = a/2
-> (a²/4) + (a²/4) = IJ²
IJ² = a²/2
IJ = a/V2

Dans le triangle rectangle EFJ rectangle en F:
EJ² = EF² + FJ²
EJ² = a² + (a²/2)
EJ² = (3/2)a²
EJ = V(3/2) .a
----
Groupement des résultats:
EJ = V(3/2) .a
EI = V(3/2) .a
IJ = a/V2
----
Loi des cosinus dans le triangle EIJ:

IJ² = EI² + EJ² - 2.EI.EJ.cos(IEJ)
a²/2 = (3/2)a² + (3/2)a² - 2.(3/2)a².cos(IEJ)
1 = 6 - 6.cos(IEJ)
6.cos(IEJ) = 5
cos(IEJ) = 5/6
angle(IEJ) = 33,5573°
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Sauf distraction, vérifie.    

J-P a raison pour l'angle. Le triangle EIJ n'est pas du
tout équilatéral, désolé

@+

Par contre, je ne pense pas que la loi des cosinus (plus connue sous
le nom de théorème d'Al Kashi) soit connue en seconde. On peut
sinon partager le triangle isocèle en deux triangles rectangles en
traçant la hauteur issue de E et utiliser la trigo dans ces triangles
rectangles.

@+

Merci beaucoup pour votre aide