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pb montrer que les droites sont concourantes

Posté par pélagie (invité) 28-03-06 à 21:10

Bonsoir à tous

Je planche sur un problème depuis tout à l'heure et je ne parviens pas à mes fins:

Soit ABCD un rectangle. Placer sur la diagonale [AC] un point M tel que CM = CB.
Dans le triangle ADM, montrer que la hauteur issue de M, la bissectrice issue de A et la médiane issue de D sont concourantes.

Je crois qu'il faut utiliser des aires... mais je n'y arrive pas.
Merci beaucoup d'avance pour votre aide.

Posté par
gaa
re : pb montrer que les droites sont concourantes 28-03-06 à 22:18

bonsoir

tu peux aussi prendre un repère
D(DC;DA)
et écrire les équations des différentes droites
si tu prends les deux vecteurs
DC et DA comme vecteurs unitaires, sauf erreur de ma part, tu trouves
M(2-V2;V2-1)
Comme le tout est un peu ch... à caluler, je te laisse faire....ou trouver une autre manière
(l'équation de la hauteur étant la plus simple à établir, tu cherches les coordonnées des intersections des 2 autres droites avec cette hauteur)
YAKA a suggéré, Pélagie essaie de faire

Bon ravail

Posté par pélagie (invité)re : pb montrer que les droites sont concourantes 28-03-06 à 22:26

Merci beaucoup
j'aurai aussi aimé avoir la solution avec les aires, mais c'est vraiment sympa d'avoir répondu
parce qu'en fait je cherche un exo ou on démontre un point de concourance ou d'alignement avec des aires, alors je m'étais souvenue de cet énoncé, mais je n'avais pas envisagé que vous trouviez la solution par d'autres méthodes.
Merci

Posté par
geo3
re : pb montrer que les droites sont concourantes 29-03-06 à 22:47

Bonsoir
Ca n'est pas avec les aires ; ça viendra prut-être plus tard.
Soient H le pied de la hauteur issue de M, N le milieu de AM et J le pied de la bissectrice issue de A.
Si tu connais la réciproque du théorème de Céva qui dit que si
AN/NM . MJ/JD . DH/HA = +1 alors les 3 droites MH, DN et AJ sont concourantes.
Le théorème de la bissectrice dit que MJ/JD = AM/AD
comme AN/NM = 1 car N milieu de AM
par Thalès on a (HM // DC)  DH/HA = MC/MA
or MC=BC=AD  =>

AN/NM . MJ/JD . DH/HA = 1.AM/AD.MC/AM =  donc  +1 => cqfd

A plus  geo3



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