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pb suites!!!
bonjour!
On considere la fonction f définie dans R par f(x) = x²e^x . on admetra
que f est dérivable autant de fois que l’on veut.
a) calculer f’, f’’, f’’’
j’ai trouvéf’(x)= (2x+x²)e^x
f’’(x)=(4x+2+x²)e^x
f’’’(x)= (x²+6x+6)e^x
b)on note la dérivée niéme de f de la maniére suivante ; fn ; démontrer
par récurrence que
fn(x)= (x²+anx+bn)e^x pour tt n>0 où a(n+1)=an+2 et b(n+1)=bn+an
je n’ai pas réussit a le démontrer, j’ai juste fait l’initialisation
c) en déduire l’expression de fn(x) en fonction de x et de n
je ne sais pas comment faire sachant que fn(x)=(x²+anx+bn)e^x
mer ci de m’aider
Bonjour 
Ce n'est pas souvent que l'on dit bonjour sur ce forum, ca
fait plaisir
a) Tes dérivées sont justes.
b) Montrons par récurrence que pour tout n entier naturel non nul,
fn(x)= (x² + anx+bn)ex
Si tu as réussi l'initialisation, je fais simplement l'hérédite
:
On suppose donc que la formule est vraie au rang n et on veut montrer
qu'elle l'est encore au rang (n+1) :
fn+1(x) = [fn(x)]'
= (2x + an)ex + (x²+anx+bn)ex
= (x²+(an+2)x+an+bn)ex
Donc la formule est encore vraie au rang (n+1) et on a :
an+1=an+2
et
bn+1=bn+an
Voilà déjà le début, bon courage ...
Et voilà, la suite
c) On vient de montrer que
fn(x) = (x² + anx + bn)ex
avec
an = an-1 + 2
et
bn = an-1 + bn-1
Comme an - an-1 = 2, on en déduit que
(an) est une suite arithmétique de raison 2 et de premier terme a1=2.
Donc :
an = 2(n-1) + 2
Pour l'expression de la suite (bn) en fonction de n, on
peut écrire que :
bn = an-1 + bn-1
bn-1 = an-2 + bn-2
bn-2 = an-3 + bn-3
...
b3 = a2 + b2
b2 = a1 + b1
En sommant toutes ces égalités et après simplification, on obtient :
bn = an-1 + an-2 + ... + a1 + b1
Le terme b1 étant nul, bn est donc la somme des
(n-1) premiers termes d'une suite arithmétique.
Donc :
bn = n(a1+an-1)/2
=n(2+2+2(n-2))/2
=n(n-1)
Conclusion : pour tout entier naturel n non nul,
fn(x) = (x² + (2(n-1) + 2)x + n(n-1))ex
Voilà, sauf erreur de ma part.
Bon courage...
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