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Pb sur équa dif..aide durgence svp....
On appelle E l'ensemble des fonctions numériques f admettant
des dérivées f',f'' et f''' dérivables
sur R et vérifiant l'équa dif:
(x-1)y''-xy'+y=0
1.montrer que si f appartient à E alors pour tout x appartenant à R -(1)
f'''(x)=f''(x)
En déduire que si f est un élément de e alors f'''=f'',puis
que f'' est solution d'une équa dif de la forme:
y'-my=0 (m appartenant à R)
2 à l'aide de deux intégrations,montrer que les élements de E
sont de la forme
f(x)=ax+be^x (a,b) apartenant à R²
Merci d'avance
(x-1)f ''-xf '+f=0 . La dérivation donne :
(x-1)f '''+ f ''-xf ''-f '+f '=0
et après simplification :
(x-1)(f '''-f '')=0 quel que soit x (différent de
1). Donc f '''=f ''
Posons f ''(x) = Y(x) donc f '''=Y ' (on
écrit Y(x) pour ne pas confondre avec le y(x) précédent)
Y ' = Y ou : Y '-Y = 0 . Donc f '' est solution
de Y '-mY=0 avec m=1.
Les solutions de cette équation sont : Y=b.e^x car Y '=b.e^x donc
Y '-Y=0.
Donc f '' = b.e^x et l'intégration donne : f ' =
b.e^x +a
L'intégration suivante donne : f = b.e^x +ax+c
En reportant dans l'équation donnée au départ, on montre que c=0.
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