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pb sur fonction usuelle
bonsoir,
je sollicite votre aide pour cet exercice svp!
soit f:R 
R dérivable en 0 tq:
(x,y) 
R², f(x+y)=f(y)e^x+f(x)e^y
1)montrer que f(0)=0
2)soit x0 R; montrer que pour x R tq x 
x0,
on a
(f(x)-f(x0))/(x-x0)=e^x0(f(x-x0)/x-x0)+f(x0)(e^(x-x0)-1)/(x-x0)
3)déduire de 2) que f est dérivable sur r et que f est solution d'une équation différentielle du type (E) y'-y=ae^x, avec a R
4) montrer que f est de la forme f: x 
bxe^x avec b R
Salut
Pour 1)
Pour 2)utiliser le fait que f(x)=f(x-x0+x0)
Après suffit de développer
Pour 3)tu t'aperçois que la limite quand x tend vers x0 existe pour tout x0 en effet ton premier terme revient à dériver f en 0 ce qui est possible le second revient à dériver la fonction exponentielle en 0 aussi. ce qui est possible la fonction exponentielle étant bien dérivable.la limite est même
ce qui montre bien que f vérifie cette équation différentielle
Pour 4)Il suffit de voir que f(x)=xe^x est solution particulière de l'équa diff ainsi toute les solutions sont de la forme f(x)=bxe^x
salut titimarion, merci pour on aide!
j'ai 2 ptites questions à te poser,
si tu peux m'expliquer stp?
j'ai pas compris pourquoi le premier terme revient à dériver f en 0 et pourquoi le second terme revient à dériver la fonction exponetielle en 0?
Slt
en fait pour voir cela il suffit de faire un changement de variable y=x-x0 alors regarder la limite quand x tend vers x0 revient à regarder la limite quand y tend vers 0.
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