soit A et B 2 points du plan tels que AB=4
1°montrer que, pour tout point M du plan MA²+3MB²=12+4MG²
2°soit f l'application du plan dans R qui, à tout point M, associe
f(M)=MA²+3MB².Montrer que f(M) est minimal lorsque M est en G.
bonsoir
permettez moi de vous répondre.
soit A et B 2 points du plan tels que AB=4
1°montrer que, pour tout point M du plan MA²+3MB²=12+4MG²?
Mr.lolo a en fait raison comment est défini G?
je suppose que G est la barycentre de (A,1) et (B,3)
AG+3BG=0
(AM+MG)+3(BM+MG)=0 ; ( relation de chasles).
ssi AM+MG+3BM+3MG=0
ssi 4MG=MA+3MB et ceci qq soit le point M du plan.
d'autre part:
MA²+3MB²=(MG+GA)²+3(MG+GB)² ; relation de chasles.
=(MG²+2MG.GA+GA²)+3(MG²+2MG.GB+GB²)
=4MG²+2MG.(GA+3GB)+GA²+3GB²
=4MG²+GA²+3GB² ; car GA+3GB=0
comme GA+3GB=0 donc GA=-3GB
donc GA²=9GB²
donc
MA²+3MB²=4MG²+9GB²+3GB²
= 4MG²+12GB².
d'autre part:
GA=-3GB donc GB+BA=-3GB
donc GB=-1/4BA=1/4AB
donc GB²=1/16AB²
comme AB=4 donc AB²=16
donc GB²=1
donc MA²+3MB²= 4MG²+12.
2°soit f l'application du plan dans R qui, à tout point M, associe
f(M)=MA²+3MB².Montrer que f(M) est minimal lorsque M est en G.?
f(M)=MA²+3MB²=4MG²+12
posons x=||MG||
alors f(M)=4x²+12
f'(x)=8x
f'(x)=0 ssi 8x=0 ssi x= 0
et f est minimale en x=0 car c'est une parabole avecle coeffcient
du terme en x² 4>0.
x=0 signifie que ||MG||=0 ssi M=G
voila
bon courage.
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