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Niveau Maths sup
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pb sur sev, base,dimension svp!

Posté par
roxane
30-12-04 à 14:31

bonjour,

j'ai encore besoin d'aide sur un ex d'un DM pour la rentrée svp!

soit aR-{1}

on note F={(Un)^,   b,  n,Un+1=aUn+b}

1)montrer que F est un sev du ev ^

j'ai dit: F différent de et montrer que pour tout (Un), (Vn) appartenan^, Un+lVn appartient à ^
(l appartient aux réels)


3) on sait que Un=(a^n)Uo+b((1-a^n)/(1-a))

et on doit en déduire une base et la dimension de F.

bas ca je sais pas!

Posté par
franz
re : pb sur sev, base,dimension svp! 30-12-04 à 15:00

{\mathcal F}=\{ (U_n) \in {\mathbb R}^{\mathbb N}, \exists b, \forall n\in {\mathbb N}, \;U_{n+1}=a U_n+b}

La suite nulle apparitent à {\mathcal F} donc {\mathcal F} est non vide.

Soit \((U_n),(V_n)\) \in {\mathcal F}^2 et (b,b^')\in {\mathbb R}^2 \;{\rm tel que }\; \forall n \in {\mathbb N}, \;\; \{ \array{U_{n+1}=a U_n+b \\ V_{n+1}=a V_n+b^'}
Soit \lambda \in {\mathbb R} et (W_n) = (U_n)+\lambda(V_n)

\forall n \in {\mathbb N}, \;\; \\ \hspace{100} \array{ccl$ W_{n+1} & = & U_{n+1}+\lambda V_{n+1} \\ & = & a U_{n} + b +\lambda (a V_{n} + b^') \\ & = & a (U_{n} + \lambda V_{n}) + b + \lambda b^'\\ & = & a W_{n} + (b + \lambda b^') \hspace{100} \Longrightarrow \;(W_n) \in {\mathcal F}


Posté par
franz
re : pb sur sev, base,dimension svp! 30-12-04 à 15:08

Soit (S) et (T) les suites de terme général \{ \array{ccc$S_{n} & = & a^n \\ T_{n} & = & \frac {1- a^n}{1-a}}

Ces deux suites sont linairement indépendantes et toute suite de {\mathcal F} s'écrit (U)= U_0 (S) + b (T)
La famille ((U),(T)) est libre et génératrice de {\mathcal F}. C'est donc une base et \dim{\mathcal F} = 2

Posté par
roxane
re : pb sur sev, base,dimension svp! 30-12-04 à 21:22

bonsoir franz!
merci pour ton aide!
pour la 1), c'est ce que j'avais fait
pour la 3), c'est ok, mé faut que je revois la lecon car  les familles, base,vect...je nage un peu!

merci pour ton aide!



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