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pbl triangle isometrique aide urgent svp
ABCD est un parallelogramme
les bissectrices des angles BAD et ADC se coupent en I et coupent les droites CD et AB en K et J
1)montrer que IAD, IKD, et IAJ sont isometriques
2)en deduire que les bissectrices tracées st perpendiculaires
Soit C un cercle et A un point exterieur
les drites AR, AQ, et BC sont tangentes au cercle C
on a de + AR =4
determiner le perimetre du triangle ABC et montrer qu'il ne depe,nd pas de la position du point P sur l'arc RQ
merci de votre aide en avance
Pour l'exercice sur les triangles isométriques :
- Question 1 -
On va montrer que IAD et IKD sont deux triangles isométriques :
Comme (DI) est la bissectrice de l'angle ADC, alors :
IDK = IDA (en angle)
Comme ABCD est un parallélogramme, alors :
JAI = DKI (en angle)
[ce sont des angles alternes-internes]
Comme (AK) est la bissectrice de l'angle DAJ, alors :
DAI = JAI (en angle)
On peut donc en déduire que :
DKI = DAI (en angle)
Dans les triangles DAI et DKI, on a montré que :
IDK = IDA
DKI = DAI
Donc :
DIK = DIA
D'où :
on a montré que :
IDK = IDA
DIK = DIA
Les triangles IAD et IKD ont un côté égal commun à deux angles respectivement
égaux. Ils sont donc isométriques.
Montrons que les triangles IAJ et IAD sont isométriques :
Comme 'AI) est la bissectrice de l'angle DAJ, alors :
DAI = IAJ (en angle).
DIK = AIJ (en angle) car ils sont opposés par le sommet.
Les triangles IAJ et IAD ont un côté égal commun à deux angles respectivement
égaux. Ils sont donc isométriques.
- Question 2 -
Comme IDK et IAD sont isométriques, alors :
DK = AD.
Comme IAD et IAJ sont isométriques, alors :
AD = AJ.
On a donc : DK = AJ
et (AJ)//(DK).
AJKD est un parallélogramme.
De plus DK = AD, donc AJKD est un losange.
Ses diagonales (AK) et (DJ) se coupent donc perpendiculairement.
Bon courage ...
1)
angle(ADI) = angle(KDI) (1) (puisque DI est bissectrice de l'angle ADC)
angle(DKA) = angle(KAB) (2) (comme angles alternes-internes)
angle(DAK) = angle(KAB) (3) (puisque AK est bissectrice de l'angle BAD)
(2) et (3) ->
angle(DKA) = angle(DAK) (4)
La somme des angles d'un triangle = 180°.
Dans le triangle IAD, on a : angle(ADI) + angle(DAK) + angle(DIA) = 180°
avec (1) et (4) ->
angle(KDI) + angle(DKA) + angle(DIA) = 180° (5)
Dans le triangle DIK, on a : angle(KDI) + angle(DKA) + angle(KID) = 180°
(6)
(5) et (6) ->
angle(DIA) = angle(KID) (7)
(1), (7) et DI commun font que les triangles IAD et IKD sont isométriques.
(8)
angle(AIJ) = angle(KID) (9) (comme angles opposés par le sommet)
(7) et (9) ->
angle(DIA) = angle(AIJ) (10)
(3), (10) et AI commun font que les triangles IAD et IAJ sont isométriques.
(11)
(8) et (11) ->
Les triangles IAD, IKD et IAJ sont isométriques.
-----
2)
angle(DIA) + angle((AIJ) = 180°
et avec (10) ->
angle(DIA) = angle(AIJ) = 90°
et donc DJ est perpendiculaire à AK.
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Sauf distraction.
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