Bonsoir, je voulais demander votre aide pour ce devoir.
Ex3;
Soit un entier n1. On appelle permutation de l'ensemble En:={1,...,n}tout application bijective de En dans lui même.
(1) Combien y a-t-il de permutations de En?
Nous dirons qu'une permutation de En est concave s'il existe k {2,...,n-1} tel que
(i) < (i+1) si 1i<k
(i)>(i+1) si ki<n.
Nous dirons que k est la cime de f. Clairement f(k)=n.
(2) Combient y a-t-il de permutations concaves de E4?
(3) Soit k{2,...,n-1}. Montrer qu'il existe permutations concaves de En ayant k comme cime.
(4) En déduire le nombre de permutations concaves de En. Verifier que le résultat est cohérent avec le nombre trouvé en (1)!
__________
Merci
1/
2/
(4321) de sommet 1
(1432)(2431)(3421) de sommet 2
(1243)(1342)(2341) de sommet 3
(1234 de sommet 4
soit 8 permutations concaves
3/
Comme tu l'as juducieusement remarqué l'image de est .
Choisir un permutation concave de sommet revient à choisir entiers parmi qui sont les images des entiers de à .
Pour qu'ils vérifient , il faut les classer dans l'ordre croissant. Il n'y a qu'une possibilité.
De la même façon les images des entiers de à sont les entiers "laissés sur la touche" (car est un bijection). Il faut classer ces entiers dans l'ordre décroissant à partir de (1 possibilité)
Au final, il y a donc permutations concaves distinctes.
4/
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