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Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Pentagone minimal 05-06-24 à 07:41

7/2 pour l'heptagone ?

Posté par
Imod
re : Pentagone minimal 05-06-24 à 08:34

J'opte plutôt pour 9/2 mais il faut le prouver .
Imod

Posté par
carpediem
re : Pentagone minimal 05-06-24 à 08:55

Imod : en fait la démonstration n'est pas si "simple" que ça !!

la formule de Pick n'est pas nécessaire pour affirmer que le minimum est supérieure à 3/2 : il suffit de prendre quatre points formant un carré + un cinquième pour avoir un pentagone "dégénéré" (deux arêtes consécutives sur une même droite) mais dont l'aire est donc 3/2

par contre la formule de Pick est nécessaire pour affirmer qu'il y a un point intérieur et même strictement à l'intérieur

car je ne vois pas comment un milieu puisse être sur la frontière donc une arête si au départ le pentagone est convexe non "dégénéré"

d'ailleurs :

Imod @ 04-06-2024 à 18:05

s'il est sur la frontière , par exemple avec I milieu de [DE] dans ABCDE alors ABCDI contredit le caractère minimal de ABCDE .
certes mais rien n'assure que le nouveau pentagone ABCDI ne soit pas dégénéré: avec les arêtes [AI] et [DI] portées par une même droite ?

Posté par
Imod
re : Pentagone minimal 05-06-24 à 09:11

Je ne suis pas sûr d'avoir compris ce qui te gène dans la démonstration . Si tu prends les milieux des sommets deux à deux , soit les sommets sont consécutifs et le milieu est sur un côté , soit il ne le sont pas et le milieu est à l'intérieur du pentagone .

Imod

Posté par
Imod
re : Pentagone minimal 05-06-24 à 09:36

Pour l'heptagone , je ne dois pas être très performant car pour le moment je n'ai pas mieux que 13/2

Imod

Posté par
Imod
re : Pentagone minimal 05-06-24 à 10:19

Un exemple :

Pentagone minimal
Imod

Posté par
mathafou Moderateur
re : Pentagone minimal 05-06-24 à 10:28

Bonjour,
pas mieux

juste avant l'octogone, l'heptagone "sans complications"

Pentagone minimal

Posté par
Imod
re : Pentagone minimal 05-06-24 à 10:55

Pas sûr qu'on arrive à 15/2 avec l'ennéagone . Il est intéressant aussi de regarder les symétries des figures et la taille du rectangle qui les enferme .
Imod

Posté par
mathafou Moderateur
re : Pentagone minimal 05-06-24 à 11:27

je ne vois pas trop comment garantir la convexité avec mieux que
Pentagone minimal
(ou équivalents à 14.5)

Posté par
Imod
re : Pentagone minimal 05-06-24 à 11:44

En fait on s'approche ( sans surprise ) du cercle qui enferme l'aire maximale à périmètre donné  . Après il peut être amusant de continuer la liste pour voir si elle figure dans l'OEIS .
Imod

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Pentagone minimal 05-06-24 à 18:42

Bonsoir,
Je tente de convaincre carpediem.

Citation :
je ne vois pas comment un milieu puisse être sur la frontière donc une arête
Il suffit que ce soit le milieu de deux sommets consécutifs.

Citation :
rien n'assure que le nouveau pentagone ABCDI ne soit pas dégénéré: avec les arêtes [AI] et [DI] portées par une même droite ?
Le point A n'est pas sur la droite qui porte le côté DE. Le point I est le milieu de DE.
Le point A n'est pas sur la droite DI.

Posté par
carpediem
re : Pentagone minimal 05-06-24 à 20:14

merci Sylvieg : j'y ai réfléchi ensuite sur différentes configurations pour mieux visualiser la chose ... et j'ai vu que finalement je racontais des co...

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Pentagone minimal 08-06-24 à 16:03

Bonjour,
Je propose quelque chose pour l'heptagone.
Démontrer qu'il a au moins deux points entiers strictement à l'intérieur.
Rien d'extraordinaire car ça n'aboutit qu'au "minimum du minimum" c'est à dire 9/2
Et j'enfonce peut-être des portes ouvertes.
Mais la démarche pourrait donner des idées à d'autres.

Soit P7 un heptagone d'aire minimum.
Il n'a donc pas de points entiers sur sa frontière en dehors de ses sommets.
Il a au moins un milieu de deux sommets qui est entier car le nombre de sommets est supérieur strict à 4.
Ces deux sommets ne sont pas adjacents. On les note A et A', avec J le milieu.
Les 5 autres sommets de P7 sont de part et d'autre de la droite (AA').
p sommets d'un côté et q de l'autre avec p+q = 5 et 1 p < q.
D'où q 3.
Du côté où q 3 on note B, C et D les trois sommets qui suivent A.
Pentagone minimal Pentagone minimal
Le pentagone ABCDJ a au moins un milieu K de deux sommets qui est entier.
Ce n'est le milieu ni de AB, ni de BC, ni de CD ; il est donc à l'intérieur du polygone P7.
Et ce n'est pas J.

Posté par
Imod
re : Pentagone minimal 08-06-24 à 18:08

A partir des première valeurs obtenues j'ai trouvé un lien dans l'OEIS : A070911

Pentagone minimal

La recherche manuelle devient apparemment très rapidement difficile .

Imod

Posté par
Imod
re : Pentagone minimal 08-06-24 à 18:18

Des solutions minimales jusqu'à n=26 :

Imod

pdf
PDF - 157 Ko

Posté par
Imod
re : Pentagone minimal 08-06-24 à 19:41

Une simple observation des images précédentes indique que pour n=4 , 8 ou 16 , on est très proche d'un cercle . Malheureusement il manque 32 .

Imod

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Pentagone minimal 09-06-24 à 07:49

Merci Imod. Très intéressant

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Pentagone minimal 09-06-24 à 08:14

Pour 32, la réponse est peut-être là :

32 avec 1046 :
(0,0),(1,0),(2,1),(4,4),(5,6),(8,13),(10,18),(13,26),(14,29),(17,39),(19,46),(22,57),(23,61),(25,70),(26,75),(27,81),(27,82),(26,82),(25,81),(23,78),(22,76),(19,69),(17,64),(14,56),(13,53),(10,43),(8,36),(5,25),(4,21),(2,12),(1,7),(0,1)

Posté par
Imod
re : Pentagone minimal 09-06-24 à 10:40

En effet et le polygone ne ressemble pas du tout à un cercle . D'un autre côté il s'agit d'une simple possibilité , je n'ai pas essayé par exemple de placer les 32 points au voisinage interne d'un cercle de rayon 18  .

Il peut aussi s'agir de hasard pour les cas 2 , 4 , 8 , 16

Imod

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Pentagone minimal 09-06-24 à 10:44

Ça ressemble à un cercle, mais vu en perspective

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Pentagone minimal 09-06-24 à 11:15

La même méthode pour heptagone et octogone :
Pentagone minimal

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