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Imod : en fait la démonstration n'est pas si "simple" que ça !!
la formule de Pick n'est pas nécessaire pour affirmer que le minimum est supérieure à 3/2 : il suffit de prendre quatre points formant un carré + un cinquième pour avoir un pentagone "dégénéré" (deux arêtes consécutives sur une même droite) mais dont l'aire est donc 3/2
par contre la formule de Pick est nécessaire pour affirmer qu'il y a un point intérieur et même strictement à l'intérieur
car je ne vois pas comment un milieu puisse être sur la frontière donc une arête si au départ le pentagone est convexe non "dégénéré"
d'ailleurs :
s'il est sur la frontière , par exemple avec I milieu de [DE] dans ABCDE alors ABCDI contredit le caractère minimal de ABCDE .
Je ne suis pas sûr d'avoir compris ce qui te gène dans la démonstration . Si tu prends les milieux des sommets deux à deux , soit les sommets sont consécutifs et le milieu est sur un côté , soit il ne le sont pas et le milieu est à l'intérieur du pentagone .
Imod
Pour l'heptagone , je ne dois pas être très performant car pour le moment je n'ai pas mieux que 13/2 
Imod
Pas sûr qu'on arrive à 15/2 avec l'ennéagone . Il est intéressant aussi de regarder les symétries des figures et la taille du rectangle qui les enferme .
Imod
En fait on s'approche ( sans surprise ) du cercle qui enferme l'aire maximale à périmètre donné . Après il peut être amusant de continuer la liste pour voir si elle figure dans l'OEIS .
Imod
Bonsoir,
Je tente de convaincre carpediem.
je ne vois pas comment un milieu puisse être sur la frontière donc une arête
rien n'assure que le nouveau pentagone ABCDI ne soit pas dégénéré: avec les arêtes [AI] et [DI] portées par une même droite ?
Le point A n'est pas sur la droite DI.
merci Sylvieg : j'y ai réfléchi ensuite sur différentes configurations pour mieux visualiser la chose ... et j'ai vu que finalement je racontais des co... 
Bonjour,
Je propose quelque chose pour l'heptagone.
Démontrer qu'il a au moins deux points entiers strictement à l'intérieur.
Rien d'extraordinaire car ça n'aboutit qu'au "minimum du minimum" c'est à dire 9/2 
Et j'enfonce peut-être des portes ouvertes.
Mais la démarche pourrait donner des idées à d'autres.
Soit P7 un heptagone d'aire minimum.
Il n'a donc pas de points entiers sur sa frontière en dehors de ses sommets.
Il a au moins un milieu de deux sommets qui est entier car le nombre de sommets est supérieur strict à 4.
Ces deux sommets ne sont pas adjacents. On les note A et A', avec J le milieu.
Les 5 autres sommets de P7 sont de part et d'autre de la droite (AA').
p sommets d'un côté et q de l'autre avec p+q = 5 et 1 
p < q.
D'où q 
3.
Du côté où q 3 on note B, C et D les trois sommets qui suivent A.
Le pentagone ABCDJ a au moins un milieu K de deux sommets qui est entier.
Ce n'est le milieu ni de AB, ni de BC, ni de CD ; il est donc à l'intérieur du polygone P7.
Et ce n'est pas J.
A partir des première valeurs obtenues j'ai trouvé un lien dans l'OEIS : A070911
La recherche manuelle devient apparemment très rapidement difficile .
Imod
Une simple observation des images précédentes indique que pour n=4 , 8 ou 16 , on est très proche d'un cercle . Malheureusement il manque 32 .
Imod
Pour 32, la réponse est peut-être là :
32 avec 1046 :
(0,0),(1,0),(2,1),(4,4),(5,6),(8,13),(10,18),(13,26),(14,29),(17,39),(19,46),(22,57),(23,61),(25,70),(26,75),(27,81),(27,82),(26,82),(25,81),(23,78),(22,76),(19,69),(17,64),(14,56),(13,53),(10,43),(8,36),(5,25),(4,21),(2,12),(1,7),(0,1)
En effet et le polygone ne ressemble pas du tout à un cercle . D'un autre côté il s'agit d'une simple possibilité , je n'ai pas essayé par exemple de placer les 32 points au voisinage interne d'un cercle de rayon 18 .
Il peut aussi s'agir de hasard pour les cas 2 , 4 , 8 , 16 
Imod
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