salut

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et si on considère que trois sommets peuvent être alignés ?

Bonjour

Est-ce toujours un pentagone ?

Imod

Bonjour,

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en utilisant la formule de Pick on peut voir qu'un tel pentagone à toujours une aire supérieure à 3/2.
Ce minimum s'atteint facilement avec un pentagone non-convexe.

Pour les convexes je cherche encore.

Tu as trouvé le minimum avec le bon argument mais il faudrait détailler un peu plus car il y a une explication assez jolie . Il y a une figure convexe très simple qui réalise ce minimum , je l'ai trouvée en utilisant un argument de la démonstration du minimum .

Imod

J'ai du mal à voir la figure , tu peux donner les coordonnées des sommets ?

Imod

ha non pardon : donc aire = 5/2 !!

désolé

Il me semble que l'aire du pentagone donné par carpediem, que je salue, est plutôt 5/2.

salut verdurin : oui je mets trompé (car 2 + 1/2 = 3/2 !!)

j'aimerai bien voir ce fameux convexe (pas tout de suite évidemment) d'aire 3/2

car il me semble qu'un pentagone convexe contient au moins un point intérieur

À Imod.
Je n'arrive vraiment  pas à trouver ton pentagone minimal.

D'accord , après pourquoi est-ce le minimum ?

Imod

Bonjour,

Voici mes plus petits...
Il serait intéressant de trouver le plus petit p/a sans imposer p et a
mais en gardant les coordonnées entières.

Bonjour,
J'ai suivi de loin.
Une question à propos de

Le minimum est 5/2 , ma réponse à Verdurin était franchement peu claire

Je sais le montrer simplement . J'ai d'autre part l'impression qu'il y a forcément un nœud à l'intérieur du pentagone mais sans certitude .

Imod

En partant de la figure minimum et en extrapolant n par tranches de 1 on aboutit à:


pour n on a    p=1+n+2+(1+n²)
et a =n+0.5+n/2
p/a-->4/3 et bien sûr a/p =3/4

Une figure avec des 5/2 :

Les deux de droite sont symétriques.

On peut même réaliser des figures un peu bizarres :



Imod

J'ai l'explication de la nécessité d'un point intérieur , c'est une simple conséquence du minimum 2,5 . En effet d'après Pick il y a au moins un nœud dans la fermeture du pentagone qui n'est pas un de ses sommets . Si ce point est sur un côté on peut couper un angle du polygone pour obtenir un nouveau pentagone d'aire plus petite ce qui est bien sûr impossible .

Il reste à prouver que 2,5 est bien le minimum

Imod

Une généralisation de la figure de 9h52 :

Avec A(0,0) B(1,0) C(2n,2) D(2n-1,2)
J(n,1) et enfin K(n+1,1).

Et il reste toujours un point à l'intérieur , d'ailleurs où est J sur [BD] ?

Imod

Le point J est le centre du parallélogramme ABCD.

... à partir des 5 points A , B , K , C et D on peut construire plusieurs milieux qui sont tous dans l'enveloppe convexe du pentagone ...

Imod

ha ben je comprends mieux ton minimum !! je pensais que tu parlais de 3/2 d'où mon msg de 19h28

sinon j'avais trouvé (et c'est ce dont je parlais à 18h41) les mêmes que dpi ou Sylvieg

le point intérieur est aussi nécessaire pour la convexité

et avec deux points intérieurs on peut toujours construire un convexe d'aire inférieure

Il manque toujours un argument pour justifier ce minimum de 5/2 .

Imod

Bonsoir,
je crois que le démonstration se base sur le fait qu'il y a au moins un angle du pentagone qui mesure plus de 108°. Ce qui entraîne la présence d'un point entier dans le pentagone.

À Imod : ta réponse à mon premier message m'a fait croire que tu avais trouvé un pentagone convexe d'aire 3/2 ta réponse était effectivement peu claire.

L'argument est bien plus simple

Désolé si j'ai pu faire croire que le minimum était 3/2

Imod

L'honnêteté intellectuelle me pousse à rectifier mon approche du 3 à 9 h24.
périmètre  =1+n+22+(n²+1)
aire =1+3n/2.
Pour le plus petit on remarque que :
pa²
quand n--> p/a-->4/3 ou a/p -->3/4

@Imod,
Un indice pour te faire pardonner ta "réponse à Verdurin franchement peu claire" ?

Un gros indice : comment choisir quatre nœuds sur un quadrillage orthonormé de façon à ce qu'aucun milieux ne soit aussi un nœud ?
Imod

il faut et il suffit que pour chacune des 6 paires de points, au moins une des différences de coordonnées soit impaire ...
ça laisse un large choix !

Oui , et si on ajoute un cinquième point ?
Imod

Je vois le pourquoi de tes allusions à des milieux dans tes messages précédents

Il s'agit de parité des coordonnées.
En notant i et p pour impair et pair, il n'y a que 4 couples différents :
(i,i) (p,p) (i,p) (p,i)
Donc avec 5 points, il y a au moins un milieu à coordonnées entières.
Par convexité, il est à l'intérieur du pentagone.

Ce sera tout pour moi avant cet après midi.

A l'intérieur au sens large.

Disons que ce milieu est sur la frontière ou à l'intérieur du pentagone mais que ce n'est pas un de ses sommets . Il me semble que pratiquement tout est dit .
Imod

à mon avis un peu plus subtil que ça car rien ne permet d'affirmer qu'il faut utiliser les 4 combinaisons.

les arcs (p,p) étant interdits, si d'un sommet partent deux segments (p,i) alors Chasles donne un (p,p) en complétant le triangle
idem pour les (i,p)
donc il ne peut y avoir au pire que un (p,i), un (i,p) et donc au moins deux (i,i) partant de ce sommet puisque 4 segments en partent.
et donc en complétant le triangle des deux (i,i) un (p,p).

C'est vrai que si le pentagone est un quadrilatère ou triangle , ça change tout

On a affaire à un "vrai" pentagone convexe .

Imod

c'est ça qui me gène :

"parmi les cinq couples affectés aux cinq sommets du pentagone"

à chaque sommet il y a 4 couples,
donc parmi ces 4 couples il y a soit le couple (p,p), soit au moins deux identiques .

Il me semble que nos couples ne correspondent pas à la même chose.
J'affecte un couple (p ou i, p ou i) à chaque sommet.
Exemple :
Avec A(6,2) B(5,2) C(4,1) ça donne (p,p) (i,p) (p,i).
Au 5ème point, on est obligé de se répéter.

Je ne sais pas si c'est la bonne démarche car je n'ai pas abouti pour ce qui est de ce fameux minimum

ah oui c'est plus simple comme ça.
moi j'étais sur les coordonnées des vecteurs formés par les arêtes
cf 04-06-24 à 10:44 : ...au moins une des différences de coordonnées...

Pour résumer car tout a été dit .

D'après la formule de Pick A=i+f/2-1 donc l'aire est supérieure ou égale à 3/2 . Si elle était égale à 3/2 , il n'y aurait aucun point à l'intérieur du pentagone ni sur la frontière en dehors des sommets . C'est impossible car il y a au moins deux sommets dont les coordonnées ont la même parité ce qui entraîne que le milieu de ces deux points est aussi un nœud qui se trouve soit à l'intérieur soit à la frontière du pentagone . S'il est à l'intérieur du pentagone le problème est réglé et s'il est sur la frontière , par exemple avec I milieu de [DE] dans ABCDE alors ABCDI contredit le caractère minimal de ABCDE .

Imod

Merci Imod.

Je suis un peu déçue car j'avais cru comprendre que la démonstration se passait de Pick.
Par contre j'étais complétement passée à côté de la manière d'évacuer le cas où le milieu est le milieu d'un côté.

Peut-on généraliser ?
Pour un hexagone, le minimum est-il 3 ?

Il faudrait trouver un hexagone avec un seul point intérieur , ça me semble difficile .
Imod

Bonsoir
ah ?

Ah oui , c'était trop simple
Imod