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Pentagone régulier et angles orientés
Bonjour,
Voici un exercice de mon DM de mathématiques :
On considère le pentagone régulier ABCDE inscrit dans le cercle trigonométrique.
1) Justifier que (OA ; OB) = 2
/5 (2)
(OA ; OC) = 4
/5 (2)
(OA ; OD) = 6
/5 (2)
(OA ; OE) = 8
/5 (2)
2) En déduire les coordonnées de A, B, C, D et E puis celle de
= OA + OB + OC + OD + OE
3) Montrez que (OB + OE) et (OC + OD) sont colinéaires à OA puis que
est colinéaire à OA
On admet que V est aussi colinéaire à OB, OC, OD et OE.
4) En déduire que :
OA + OB + OC + OD + OE = 0 (vecteur nul)
1 + 2 cos 2
/5 + 2 cos 4/5 = 0
5) En déduire que cos 2
/5 est solution de l'équation 4x2+ 2x -1 = 0
b) Déterminer alors la valeur exacte de cos 2
/51) On a BOA, BOC, COD, DOE et EOA isocèles en O car par exemple pour BOA [OA] et [OB] sont des rayons du cercle d'où OA=OB.
Comme tous les triangles sont isocèles en O alors la mesure de l'angle à leur sommet est égale. Or la somme de tous les angles ayant pour sommet O fait 2
car O est le centre du cercle trigonométrique.
On a donc (OA ; OB) + (OB ; OC) + (OC ; OD) + (OD ; OE) + (OE ; OA) = 2
D'où (OA ; OB) = ... = 2
/5 (2)
(OA ; OC) = (OA ; OB) + (OB ; OC) relation de Chasles
(OA ; OC) = 2
/5 + 2/5 = 4/5 (2)
Méthode analogue pour les autres angles.
2) On lit : A (1 ; 0), B (cos 2
/5 ; sin 2/5), C (cos 4/5 ; sin 4/5)
D (cos 6
/5 ; sin 6/5), E (cos 8/5 ; sin 8/5).
OA (1 ; 0), OB (cos 2
/5 ; sin 2/5), OC (cos 4/5 ; sin 4/5), OD (cos 6/5 ; sin 6/5), OE (cos 8/5 ; sin 8/5).
V ( 1 + cos 2
/5 + cos 4/5 + cos 6/5 + cos 8/5)
( 0 + sin 2
/5 + sin 4/5 + sin 6/5 + sin 8/5)
Et c'est ici que je suis bloqué... Il y a sans doute un moyen de simplifier cette écriture vu que la somme de tout ça donne les coordonnées du vecteur nul sur la calculatrice. J'ai essayé avec les formules d'addition mais ici on a des additions de cosinus/sinus alors que dans ces dernières il s'agit de multiplications. Apparemment pas moyen de placer une formule de duplication, j'ai "découvert" que cos 2
/5 + cos 8/5 
cos 10/5 aussi.
Quelque chose doit m'échapper... j'aurais besoin d'aide svp
pense aux angles supplémentaires...
8/5 = 2 - 2/5
et cos (2-x) = cos(-x) = cos(x) par contre les sinus seront opposés
de même 6/5 = 2 - 4/5
non pour l'instant tu restes à V ( 1 + cos 2/5 + cos 4/5 + cos 6/5 + cos 8/5 ; sin 2/5 + sin 4/5 + sin 6/5 + sin 8/5)
on va démontrer que c'est nul mais d'une autre façon. Suit la logique de l'exercice.
OB et OE sont symétriques par rapport à OA donc OB+OE est colinéaire à OA. De même que OC+OD. Donc OA + OB + OC + OD + OE est colinéaire à OA. Or par symétrie, on démontrerait de la même façon qu'il est colinéaire à OB ou OC, etc.. donc la seule façon qu'il soit colinéaire à tous les vecteurs à la fois, c'est qu'il soit nul. Et donc on en déduit que OA + OB + OC + OD + OE =0
et donc que 1 + cos 2/5 + cos 4/5 + cos 6/5 + cos 8/5=0 ainsi que sin 2/5 + sin 4/5 + sin 6/5 + sin 8/5 = 0
Après on remarque que 6/5 = 2 - 4/5 et donc que cos 6/5 = cos 4/5 et de même que cos 2/5 = cos 8/5
et on en déduit que 1 + 2 cos 2/5 + 2 cos 4/5 = 0
Ensuite on se rappelle que cos2x = 2cos²x-1 et donc que si x=cos 2/5 alors cos 4/5 =2x²-1 et en remplaçant on tombe sur l'équation demandée.
1) Tu devrais plutôt dire que les cinq angles au centre sont égaux car le pentagone est régulier.
2) Essaie de manipuler les angles des cosinus et des sinus.
Par exemple : 8/5 = 10/5 - 2/5 = 2 - 2/5.
D'où cos 8/5 = cos 2/5 et sin 8/5 = - sin 2/5 .
fredchateauneuf et Priam, merci effectivement je n'y avais pas pensé.
Glapion vous dites qu'on peut prouver la colinéarité par symétrie? Je n'ai pas entendu parler de cette règle... Ce n'est pas que j'en doute mais j'aimerais pouvoir l'expliquer à mon prof si il m'interroge voyez vous
D'une manière générale, si tu additionnes deux vecteurs de même module, ça donne un vecteur dont la direction est la bissectrice de l'angle formé par les deux vecteurs. (Pourquoi ? parce que la figure est un losange et dans un losange, les diagonales sont les bissectrices des angles)
Donc quand tu fais OE + OB par exemple, ça donne un vecteur porté par la bissectrice de (OE,OB) donc par OA
D'accord c'est compris 
Par contre j'ai moins compris ça :
Ensuite on se rappelle que cos2x = 2cos²x-1 et donc que si x=cos 2
/5 alors cos 4/5 =2x²-1 et en remplaçant on tombe sur l'équation demandée.De mon côté si je prends x=cos 2
/5 je trouve :
cos 2*cos 2
/5 = 2cos²cos 2/5 -1
je ne trouve pas cos 4
/5 pour cos 2x donc, j'ai fait une erreur?A ce moment on en est à 1 + 2 cos 2/5 + 2 cos 4/5 = 0
on pose x = cos 2/5, on sait aussi que cos 4/5 = 2cos²(2/5) -1 = 2x²-1
donc l'égalité devient 1+2x+2(2x²-1)=0 
1+2x+4x²-2=0 4x²+2x-1=0 qui est l'équation que te demande ton énoncé.
Bonsoir, je suis bloquée à la question 4)a) de cet exercice. Suffit-il de dire que comme V est colinéaire à OA, il ne peut-être colinéaire à OB OC OD et OE si et seulement si ilest =0?
Merci
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