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Niveau 2 *
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Périmètres de rectangles.**

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
03-07-05 à 18:41

Un rectangle ABCD a un périmètre de 34 cm.

Le rectangle ABCD est divisé en neuf petits rectangles, les cotés de ces 2 rectangles sont parallèles aux bords du rectangle ABCD, comme indiqué sur le dessin.

Le périmètre (en cm) de certains des 9 petits rectangles est indiqué à l'intérieur de ceux-ci.

Quel est le périmètre du rectangle rouge ?

ATTENTION:\ Une\ justification\ de \ la \ solution\ est\ obligatoire\ pour\ obtenir\ un \
-----
Bonne chance à tous.  





Périmètres de rectangles.

Posté par
Nofutur2
re : Périmètres de rectangles.** 03-07-05 à 19:46

gagnéLe rectangle ABCD est partagé :
- pour la longueur en trois parties L1, L2 et L3
- et pour la largeur en trois parties l1,l2 et l3.
On a :
2*(L1+l2) =14
2*(L2+l1) = 9
2*(L2+l3) = 10
2* (L3+l2) = 7
2*(L1+L2+L3+l1+l2+l3) = 34
On cherche P =2*(L2+l2)

Si on fait la somme des 4 premières égalités on obtient :
2*(L1+L2+L2+L3+l1+l2+l2+l3) = 14 +9+10+7 = 40
Or
2*(L1+L2+L2+L3+l1+l2+l2+l3) = 2*(L1+L2+L3+l1+l2+l3) +2*(L2+l2) = 34 + P
P= 40-34 = 6 cm
De toute évidence le dessin n'est pas à l'échelle..

Posté par
doc_78
re : Périmètres de rectangles.** 03-07-05 à 19:49

gagnéBonjour,
On a DE+EF+FA+AG+GH+HB=17
EF+AG=7
FA+GH=5
On peut donc déduire DE+HB=5
D'autre part DE+GH=4,5
et EF+HB=3,5
Donc DE+EF+GH+HB=8
D'où EF+GH=3
Le périmétre du rectangle rouge est 2 x (EF+GH)
Le périmètre vaut donc 6cm.

Périmètres de rectangles.

Posté par
infophile
re : Périmètres de rectangles.** 03-07-05 à 20:14

gagné(re)Bonjour !

Je viens de faire vite fait cette enigme, et j'espère ne pas encore me prendre un !

Je note chaque coin de rectangle par une lettre respective. Puis je procède ainsi :

Nous savons que 2AD+2AB=34 , et par conséquent 4AD+4AB=68 (en effet AD+MJ+PI+CB=4AD et DC+NF+OE+AB=4AB). D'autre part la somme des périmètres données (aucun côté en commun) donne : 68-(14+10+7+9) = 28 .

Ce résultat peut être obtenu de la manière suivante :

DN+DM+PC+CF+EB+BI+JA+AO=28
2DN+2DM+2PC+2AO=28 (on procède ainsi car certains côté sont similaires du fait de la découpe).
DN+DM+PC+AO=14
DM+PC+AD-ON=14
AB-MP+AD-ON=14

Or en revenant au premier résultat on trouve AD+AB =17

DOnc :

17-MP-ON=14
MP+ON=3
LG+LK=3 (ces côtés sont ceux du rectangle dont on recherche le perimetre, celui en rouge). Etant deux côtés différents, et sachant que sa nature est rectangle, on en conclue que son périmètre est de
3*2 = 6

Conclusion : Le perimètre du rectangle rouge est de 6cm.

la réponse est : 5$ \red \fbox{\fbox{6}}

Merci pour l'enigme
Kevin


Ca m'a donné faim, et puis désolé pour le dessin mais je dois aller manger



Périmètres de rectangles.

Posté par
cinnamon
re : Périmètres de rectangles.** 03-07-05 à 20:30

gagnéSalut,
Voila comment j'ai procédé pour calculer le périmètre du rectangle rouge :
J'ai appelé x et y les dimensions du rectangle rouge (voir ma figure pour les autres notations), donc le périmètre du rectangle est égal à 2(x+y). J'ai donc cherché à déterminer la valeur de x+y .
J'ai traduit les différentes données de l'énoncé par le système suivant :
\red(S)\{{2(a+b+c+d+x+y)=34\\2(a+y)=14\\2(b+y)=7\\2(c+x)=9\\2(d+x)=10}

Les quatre dernières lignes du système permettent de donner b en fonction de a et c en fonction de d:
2(a+y)=14 \Longrightarrow y = 7-a (1)
2(b+y)=7 \Longrightarrow y= 3.5-b (2)
2(c+x)=9 \Longrightarrow x=4.5-c (3)
2(d+x)= 10 \Longrightarrow x=5-d (4)

En effet, en égalisant les deux expressions x et les deux expressions de y, on obtient :
c = d-0.5
b = a-3.5

On remplace x,y,b et c par leurs expressions dans la première ligne du système (S) et on obtient :
2(a+d+8)=34 d'ou a = 9-d.

On remplace a par son expression dans l'équation (3) :
y=7-a \Longrightarrow y=7-9+d=d-2 (7)

En additionnant les deux équations (2) et (7), on obtient:
 x+y = 5-d+d-2 \Longrightarrow x+y=3

Donc le périmètre du rectangle est égal 2(x+y)=2\times3 = 6 cm.

Ma réponse est donc :
Le périmètre du rectangle rouge est de :
10$\blue\fbox{6 cm}

Périmètres de rectangles.

Posté par
manpower
re : Périmètres de rectangles.** 03-07-05 à 20:55

gagnéBonsoir,

Avec les notations de la figure (AB=a+b+c et BC=d+e+f), les données conduisent au système suivant :
\rm L_1~:~2(a+b+c+d+e+f)=34
\rm L_2~:~2(b+d)=10
\rm L_3~:~2(b+f)=9
\rm L_4~:~2(a+e)=14
\rm L_5~:~2(c+e)=7
désolé mais je n'arrive pas à utiliser LateX pour les systèmes de plus de 2 équations (aide bienvenue!)

Le système ne peut pas être résolu mais la combinaison linéaire \rm L_2~+~L_3~+~L_4~+~L_5~-~L_1 nous amène illico sur l'équation \rm 2(b+e)=10+9+14+7-34=6.

Le périmètre du rectangle rouge (égal à \rm 2(b+e)) vaut donc 3$ \rm \red 6~cm.

Merci J-P pour l'énigme.

PS: De même, ma figure n'est pas non plus à l'échelle

Périmètres de rectangles.

Posté par jean-émile (invité)re : Périmètres de rectangles.** 03-07-05 à 20:57

gagné1) Soit x1 , x2 , x3 les côtés horizontaux des petits rectangles

et   y1 , y2 , y3 les côtés verticaux des petits rectangles

On cherche donc 2(x2 + y2)

2) On a le système suivant :

x1 + x2 + x3 + y1 + y2 + y3 = 17

x1 + y2 = 7

x2 + y1 = 9/2

x2 + y3 = 5

x3 + y2 = 7/2

3) On résout en fonction de y3

On trouve :

x1 = 9 - y3

x2 = 5 - y3

x3 = 11/2 - y3

y1 = -1/2 + y3

y2 = -2 + y3

Donc x2 + y2 = 5 - y3 -2 + y3 = 3  

et périmètre cherché = 2(x2 + y2) = 6

4) Réponse = 6


Posté par Severus (invité)re : Périmètres de rectangles.** 03-07-05 à 21:20

Hello,

J'ai appelé le 3 segments de AB a1, a2 et a3 et les trois segments de BC b1, b2, b3.

Le périmètre de ABCD s'exprime:
2a1+2a2+2a3+2b1+2b2+2b3=34

La somme des périmètres connus s'exprime:
2a1+4a2+2a3+2b1+4b2+2b3=40

En soustrayant les 2 équations on obtient: 2a2+2b2=6 qui est le périmètre du rectangle rouge.

* image externe expirée *

Severus

Posté par
Lopez
re : Périmètres de rectangles.** 03-07-05 à 21:37

gagnéalors avec la notation que j'ai mise sur le dessin j'ai :

x + z + u + v + y + t = 34/2 = 17   (1)
x = 7 - y
v = 9/2 - z
u = 7/2 - y
t = 5 - z

je remplace dans l'équation (1) et j'obtiens :

y + z = 3 et cela représente le demi-périmètre du rectangle rouge

donc le périmètre du rectangle rouge est 6 cm



Périmètres de rectangles.

Posté par
lyonnais
re : Périmètres de rectangles.** 03-07-05 à 22:20

gagnésalut J-P et bonjour à tous :

on sait que pour un rectange de largeur x et de longueur y , le périmètre s'exprime par la relation : P = 2(x+y)
Le demi-périmètre a donc pour formule P/2 = x+y

Avec les notations de la figure ( ici jointe ) , on a donc :

3$ a+c+e+f+b+d=17   De plus on sait que :  a+b=7   et que  :   f+c=5

En remplaçant, on obtient donc :  \blue \fbox{d+e=5}

On peut donc aboutir au système suivant :

3$ \{{ e+b=\frac{7}{2} \\ e+d=5    <=>     3$ \magenta \fbox{b=d-\frac{3}{2}}

On arrive donc au système suivant :

3$ \{{ c+d=\frac{9}{2} \\ c+b=X   avec  3$ d=b+\frac{3}{2}

<=>   3$ \{{ c+b+\frac{3}{2}=\frac{9}{2} \\ c+b=X

<=>   3$ X = \frac{9}{2}-\frac{3}{2}
            3$ \rm =3 cm

Or on a , Prectangle rouge = 2X  .  3$ \red \rm On obtient donc au final : P_{rectangle rouge} = 6 cm

Pour information sont noté en vert sur le dessin les périmètres des autres rectangles en suivant des raisonnements du même ordre ( qui ne sont pas demandés, donc ne pas prendre en compte dans la correction si faux )

En espérant ne pas mettre trompé ...

Périmètres de rectangles.

Posté par
lyonnais
re : Périmètres de rectangles.** 03-07-05 à 22:30

gagnéoups, j'oubliais :

MERCI J-P de nous présenté des énigmes alors que si j'ai bien compris tu es sur le point de partir en vacances ...

Moi je dis : Chapeau Monsieur !

@+ sur l'
lyonnais

Posté par pietro (invité)re : Périmètres de rectangles.** 03-07-05 à 22:55

Soit DC = x + y + z et CB = a + b + c

On connait le demi-périmètre de 5 rectangles :
x + y + z + a + b + c = 17
x                 + b      = 7
     y       + a          = 4,5
           z     + b      = 3,5
     y                 + c = 5

Le demi-périmètre du rectangle rouge = y + b

En prenant l'opposé de la 1ère relation et en lui ajoutant les autres, on obtient y + b = 3 => 2.(y + b) = 6


Périmètres de rectangles.

Posté par cocot (invité)rectangle rouge 03-07-05 à 23:04

gagnéAD est divisé en trois longueurs (l1,l2,l3)
DC est divisé en trois longueurs (L1,L2,L3)

(L1+l2)x2=14
(L2+l3)x2=9
(L3+l2)x2=7
(L2+l1)x2=10

(L1+l2)+(L2+l3)+(L3+l2)+(L2+l1)=20
l2 et L2 sont comptés deux fois
(L1+L2+L3+l1+l2+l3)+l2+L2=20
(L1+L2+L3+l1+l2+l3)=17 car c'est le demi-perimetre de ABCD
l2+L2=3
2x(l2+L2)=6
donc le perimetre du rectangle rouge est egal a 6 cm CQFD

Posté par Razibuszouzou (invité)re : Périmètres de rectangles.** 03-07-05 à 23:53

gagnéSoit x la longueur (horizontale) et y la largeur (verticale) du rectangle rouge. On cherche le périmètre P = 2 (x + y)
Nous allons essayer d'exprimer  le périmètre ABCD en fonction de x et y. Pour cela, nous remarquons que la longueur AB peut se décomposer en 3 parties, correspondant aux longueurs des 3 rectangles horizontaux du milieu, dont nous connaissons les périmètres :
Longueur du premier rectangle : (14 - 2y)/2 = 7 - y
Longueur du second : x
Longueur du troisième : (7 - 2y)/2 = 3,5 - y
Au total, la longueur AB peut donc s'écrire  x + 10,5 - 2y

De la même manière, on peut décomposer la largeur AD d'après les 3 rectangles verticaux du milieu :
Largeur du premier rectangle : (9 - 2x)/2 - 4,5 - x
Largeur du second : y
Largeur du troisième : (10 - 2x)/2 = 5 - x
Au total, la largeur AD est égale à y + 9,5 - 2x

Le périmètre ABCD peut alors s'exprimer ainsi :
2 (AB + AD) = 2 (x + y + 20 - 2x - 2 y) = 40 - 2 (x + y) = 40 - P = 34
D'où  nous obtenons P = 6 cm

Le périmètre du rectangle rouge est de 6 cm.

Posté par
titibzh
re : Périmètres de rectangles.** 04-07-05 à 00:13

gagné2X+2Y+2U+2T+2W+2Z=34 ==> périmètres du rectangle (1)
2X+2Z+2Y+2W+2X+2T+2Y+2U=40 ==> somme des petits périmètres (2)
(2)-(1)==>2X+2Y=6
la périmètre du petit rectangle est 6
oila bonne soirée ..........




Périmètres de rectangles.

Posté par
borneo
re : Périmètres de rectangles.** 04-07-05 à 00:24

gagné2a + 2c = 9
2b + 2c = 14
2d + 2e = 7
2c + 2f = 10

j'additionne tout

2a + 2b + 2c + 2d + 2e + 2f + le périmètre du rectangle rouge (c.a.d 2c + 2e) = 40

et on sait que 2a + 2b + 2c + 2d + 2e + 2f = 34

donc le périmètre du rectangle rouge = 40 - 34 = 6 cm

Périmètres de rectangles.

Posté par
elda
re : Périmètres de rectangles.** 04-07-05 à 00:28

gagnéAvant tout je vais essayer d'expliquer mes notations (celles nécéssaires) puisque je ne joins pas de figures.
x est la logueur des côtés droit et gauche du rectangle rouge et v celle des côtés en haut et en bas.

2x+2y=14
2x+2z=7
y-z=7/2
z=y-7/2

2v+2w=9
2v+2u=10
w-u=-1/2
w=u-1/2

2(y+y-7/2+v)+2(u+u-1/2+x)=34
4y+2v-7+4u-1+2x=34
4y+4u+2v+2x=42
4(7-x)+4(5-v)+2v+2x=42
-2x-2v=-6
2x+2v=6
P= 6 cm

Posté par Myst (invité)re : Périmètres de rectangles.** 04-07-05 à 00:54

gagnéOn a les notations de la figure ci-jointe.

Selon l'énoncé : 2(a+b+c+d+e+f)=34 donc a+b+c+d+e+f=17.

De même on obtient en divisant par 2 les périmètres :
a+e=7
b+d=4,5
c+e=3,5
b+f=5

Et le périmètre cherché vaut : P=2(b+e) !

En additionnant les 4 lignes ci-dessus on a :
a+e+b+d+c+e+b+f=20
soit a+b+c+d+e+f+b+e=20 !
Or a+b+c+d+e+f=17 donc 17+b+e=20 ou b+e=3,
donc 2(b+e)=P=6.

Le périmètre du rectangle rouge vaut 6cm ! CQFD.

Périmètres de rectangles.

Posté par
piepalm
re : Périmètres de rectangles.** 04-07-05 à 08:10

gagnéLes cotés horizontaux des 4 rectangles haut bas droite et gauche sont les trois morceaux du coté du grand rectangle, le morceau central, qui est le coté du rectangle rouge, étant compté 2 fois. Même chose pour les cotés verticaux; la somme des périmètres des 4 petits rectangles est donc égale à la somme de celui du grand rectangle et de celui du rectangle rouge.  
Le périmètre du rectangle rouge est donc:
9+14+7+10-34=6 cm

Posté par gabs4556 (invité)re : Périmètres de rectangles.** 04-07-05 à 09:54

gagnéBonjour a tous,

Regarder d'abord le dessin pour voir de quel façon j'ai noté les différents segments du rectangle.

Dans un premier temps on sait que le périmètre d'un rectangle quelconque est égale à 2(L+l).
On a donc : périmètre de ABCD = 2(L+l) = 34
ce qui donne : L+l = 34/2 = 17

Calculons la longueur de deux cotés non parallèles de chaque rectangle dont nous connaissons le périmètre :
2(L1 + l2) = 9  =>  L1+l2 = 4,5
2(L2 + l1) = 14  =>  L2+l1= 7
2(L2 + l3) = 7  =>  L2+l3 = 3,5
2(L3 + l2) = 10  =>  L3+l2 = 5

En faisant la somme de toutes ces longueurs on trouve :
L1+l2 + L2+l1 + L2+l3 + L3+l2 = 4,5+7+3,5+5 = 20

Or on sait que :           L+l = L1+L2+L3+l1+l2+l3
En remplaçant on a donc :  L+l + L2+l2 = 20
                        => L2+l2 = 20 - (L+l)
                        => L2+l2 = 20 - 17
                        => L2+l2 = 3

Nous avons la longueur de deux cotés non parallèles du rectangle rouge (L2+l2), pour connaître le périmètre il suffit de multiplier cette longueur par 2 :

Périmètre du rectangle rouge = 3*2 = 6

Périmètres de rectangles.

Posté par StephDhid (invité)re : Périmètres de rectangles.** 04-07-05 à 10:32

gagnéBonjour,

avec les notations sur mon dessin, on a :
2(x+y+z)+2(u+v+w)=34
2x+2v=14
2y+2u=9
2y+2w=10
2z+2v=7
Les trois premières lignes entrainent que 2z+2w=11, et donc
(2y+2w)+(2z+2v)-(2z+2w)=10+7-11
donc 2y+2v=6.

Le rectangle rouge a donc un périmètre de 6 cm.

Périmètres de rectangles.

Posté par philoux (invité)re : Périmètres de rectangles.** 04-07-05 à 10:53

gagnéBonjour,

Résolution proposée :

Notations :
a, b et c les trois largeurs entre D et C
d, e et f les trois hauteurs entre D et A

P=2(a+..+f)=34 périmètre du rectangle ABCD

Périmètres des petits rectangles connus :
2(b+d)=9
2(a+e)=14
2(c+e)=7
2(b+f)=10

On déduit les périmètres des rectangles inconnus (hors celui cherché X):
2(a+d)=34-7-10=17
2(a+f)=34-9-7=18
2(c+d)=34-14-10=10
2(c+f)=34-9-14=11

Faisons maintenant la somme des 8 périmètres des rectangles intérieurs à ABCD, hors celui cherché, X :

S8=Somme 8 périmètres = P+(a+d + d+b+d + d+c + a+e+a + c+e+c + a+f + f+b+f + f+c)
S8=P+(2P-X)=3P-X

d'où
X=3P-S8=3.34 - (17+9+10 + 14+7 + 18+10+11)

X=6 cm

Merci pour l'énigme (pas si simple...)

Philoux

Question :
Est-ce appris en classe :
Soit un rectangle, de périmètre P, découpé en n² rectangles élémentaires (n² = n x n)
La somme des périmètres de ces n² rectangles vaut nP.

Posté par
mauricette
re : Périmètres de rectangles.** 04-07-05 à 12:12

gagnébonjour !

Alors, on a :
2AB + 2AD = 34    (1)
et de plus soient x, y, z, t, u, s comme sur le dessin, on a :

x + y = 9/2 = 4,5
x + z = 10/2 = 5
u + t = 14/2 = 7
u + s = 7/2 = 3,5

d'où 2u + 2x + s + t + y + z = 4,5 + 5 + 7 + 3,5 = 20   (2)

de plus d'après (1) on a :

2u + 2x + 2s + 2t + 2y + 2z = 34   (3)
[ En effet AB = t + x + s et AD = z + u + y ]

d'où d'après (2) :
s + t + y + z = 20 - 2u - 2x

On remplace dans (3):
2u + 2x + 2s + 2t + 2y + 2z = 2u + 2x + 2(s + t + y + z)
                            = 2u + 2x + 2(20 - 2u - 2x) = 34

On trouve donc -2u - 2x = 34 - 40 = -6
2u + 2x = 6

Donc l'aire du rectangle rouge est de 6 cm

Périmètres de rectangles.

Posté par
paulo
re : Périmètres de rectangles.** 04-07-05 à 12:21

gagnébonjour,

soit a et b les valeurs des cotés du rectangle rouge et soit x son perimetre.
d'autre part c et d sont les valeurs des cotes des petits rectangles situes sur  DC  et e et f celles des petits rectangles situes sur BC;

on a : 2(a+b)=x
       2(b+c)=14
       2(a+f)=10
       2(b+d)=7
       2(a+e)=9

et en plus on a : 2(c+a+d+e+b+f)=34

en additionnant les 6 premieres egalites on trouve :

2(a+b+b+c+a+f+b+d+a+e)=x+14+10+7+9

et en simplifiant:

2(a+b+c+d+e+f+2(a+b))=x+40
2(17+x)=x+40
34+2x=x+40


le perimetre du rectangle rouge est 6 cm


une fois de plus je n'ai pas pu attacher de figure

a plus tard

PAULO

Posté par kyrandia (invité)re : Périmètres de rectangles.** 04-07-05 à 15:17

gagnébonjour,

le périmètre du rectangle rouge = 6 cm

Posté par kyrandia (invité)re : Périmètres de rectangles.** 04-07-05 à 15:28

gagnéBon j'ai pas justifié, donc je répare l'oubli :

soit L1, L2, L3 les longueurs des rectangles et l1, l2, l3 leurs largeurs.

on a :
2(L1+L2+L3)+2(l1+l2+l3)=34 (1)
2L2+2l1=9 ---> 2l1=9-2L2 (2)
2L1+2l2=14 ---> 2L1=14-2l2 (3)
2L3+2l2=7 ---> 2l3=7-2l2 (4)
2L2+2l3=10 ---> 2l3=10-2L2 (5)

(2), (3), (4), (5) dans (1) ---> 40-2l2-2L2=34 ---> 2l2+2L2=6

voili, voila.

Posté par eau (invité)La solution 04-07-05 à 19:06

gagnéSalut  tout le monde !
Sur le segment AB on va considérer les distances en ordre a, b et c (de Avers B)
Sur le segment AD on va considérer les distances en ordre d, e et f (de Avers D)
(Désolé j'ai pas pu insérer le schéma qui montre ces distances)
On a :
· a+b+c+d+e+f=17 cm (le rectangle ABCD a un périmètre de 34 cm)
· a+e=7cm
· b+d=5 cm
· f+b=4.5 cm
· c+e=3.5 cm
Maintenant il s'agit de dégager de nouvelles relations à partir de celles existantes.
a+b+c+d+e+f-(a+e)=17-7=10 cm donc b+c+d+f=10 cm
      a+b+c+d+e+f-(c+e)=17-3.5=13.5 cm donc a+b+d+f=13.5 cm

on a b+c+d+f=10 cm  or b+f=4.5 cm donc c+d=10-4.5=5.5 cm
et    a+b+d+f=13.5 cm or b+d=5 cm donc a+f=8.5 cm
On a a+b+c+d+e+f=17
Donc (a+f)+(c+d)+(b+e) =17 cm
Donc 8.5+5.5+(b+e)=17 cm
Et par suite b+e=3 cm
Donc le périmètre du rectangle en rouge est 2(b+e)=6 cm

Merci J-P pour l'énigme.

Posté par papanoel (invité)re : Périmètres de rectangles.** 04-07-05 à 20:17

gagnéSalut,
j ai cadrillé comme dans l image.
2[(l1+l2+l3)+(L1+L2+L3)]=34
2(l3+L2)=7
2(L3+l2)=10
donc 2(l1+L1)=17
et
2[(l1+l2+l3)+(L1+L2+L3)]=34
2(l1+L2)=14
2(L1+l2)=9
donc 2(l3+L3)=11
et enfin
2(l2+L2)=6
Le perimetre du rectangle rouge est 6cm
@+

Posté par papanoel (invité)re : Périmètres de rectangles.** 04-07-05 à 20:29

gagnéj allais oublier l image...

Périmètres de rectangles.

Posté par aris20 (invité)re 04-07-05 à 21:28

gagnéle périmetre du rectangle rouge est  6cm
soit a; x , c les cotes des 3 rectangles sur la droitre bc
soit b,y,d les cotes des 3rectangles sur la droite dc



on a
9=2a+2y
14=2x+2b
7=2d+2x
10=2y+2x
34=2(a+x+c)+2(b+y+d)

on a 40=2x+2y+34
2x+2y=6cm

Posté par chrystelou (invité)re : Périmètres de rectangles.** 04-07-05 à 23:06

Bonsoir,

La somme des périmètres de 3 petits rectangle situés sur des lignes et colonnes différentes est égale au périmètre du rectangle ABCD.
(On a par exemple P1+P5+P9 = P1+P8+P6 = P2+P4+P9 = 34 cm)

P1 = 34cm -(P6+P8) = 17cm
P9 = 34cm - (P2+P4) = 11 cm

P5 = 34 cm - (P1+P9) = 6 cm

Le rectangle rouge a un périmetre de 3$\red 6 cm

Périmètres de rectangles.

Posté par
franz
re : Périmètres de rectangles.** 04-07-05 à 23:09

gagnéon a les équation suivantes
\left{ \array{ccl$ 34 & = & 2AD + 2AB \\ 9 & = & 2DE + 2GH \\ 14 & = & 2 EF + 2AG \\ 10 & =& 2 AF + 2GH \\ 7 & = & 2 HB + 2 EF }\right.

En sommant les 4 dernières égalités on parvient à
\array{ccl$ 40 & = & 2 DE + 4 EF + 2FA + 2 AG + 2 AG + 4 GH + 2 HB \\ & = & 2(DE+EF+FA) + 2(AG+GH+HB) + 2EF + 2GH \\ & = & 34 + \rm{perimetre rouge}

Le périmètre recherché vaut donc \red \large 2EF + 2GH = 6 \,cm

Périmètres de rectangles.

Posté par shintao (invité)re : Périmètres de rectangles.** 05-07-05 à 01:01

gagnéOn nomme les trois subdivisions du segment DA de haut en bas respectivement a, b et c et les trois subdivisions du segment DC de gauche à droite respectivement d, e, et f.

Illustration :               d             e             f
                         a
                          
                         b         Rectangle ABCD
                          
                         c
Périmètre du réctangle central :

X=2b+2e

Périmètre du rectangle ABCD :

34=2(a+b+c)+2(d+e+f) => 34=2a+2b+2c+2d+2e+2f

Périmètre des petits rectangles :

9=2e+2a=>2a=9-2e
                                                         7=2b+2f=>2f=7-2b
                                                         10=2e+2c=>2c=10-2e
                                                         14=2b+2d=>2d=14-2b

En introduisant les quatres dernières équations dans celle donnant l'expression du périmètre du rectangle ABCD on obtient :

34=(9-2e)+2b+(10-2e)+(14-2b)+2e+(7-2b)=>2b+2e=6=X

Le périmètre du rectangle rouge est donc de 6cm.

Posté par ludolecho (invité)re : Périmètres de rectangles.** 05-07-05 à 09:51

gagnéBonjour,

Avec ce schéma :

On obtient le système d'équation suivant:

2a+2b+2c+2d+2e+2f = 34
2a+2b = 14
2c+2d = 9
2e+2b = 7
2c+2f = 10

Le but est donc d'obtenir 2b+2c
On exprime donc a,d,e et f en fonction de b et c
2a+2b = 14 => 2a=14-2b
2c+2d = 9 => 2d=9-2c
2e+2b = 7 => 2e=7-2b
2c+2f = 10 => 2f=10-2c

En remplacant ces équations dans la première on obtient :
14-2b+2b+2c+9-2c+7-2b+10-2c=34   =>
-2b-2c=34-14-9-7-10   =>
2b+2c=6

Donc le périmétre du rectangle rouge est de 6cm

Au revoir

Périmètres de rectangles.

Posté par
SquaL
re : Périmètres de rectangles.** 05-07-05 à 10:01

gagnéBonjour,

Soit x le périmètre du rectangle rouge.
D'après le dessin (voir image jointe) on a: x = EF + GH + IJ + LK

Or, toujours d'après le dessin, on a également:

  LK+AE+GH+JB=10 (1)
  EF+DG+IJ+AL=14 (2)
  FD+GH+IC+LK=9 (3)
  HC+IJ+KB+EF=7 (4)

et AD+DC+CB+BA=34 (d'après l'énoncé, soit en décomposant:

  AE+EF+FD+DG+GH+HC+CI+IJ+JB+BK+KL+LA=34 (5)

Ainsi, (1)+(2)+(3)+(4)-(5): EF+GH+IJ+LK=10+14+9+7-34

D'où x=EF+GH+IJ+LK=6

Le rectangle rouge a donc un périmètre de \red{6 cm}

Merci pour l'énigme.

Périmètres de rectangles.

Posté par philoux (invité)re : Périmètres de rectangles.** 05-07-05 à 13:11

gagnéBonjour,

4 périmètres des rectangles = périmètre total + périmètre du rectangle central.

Ce qui se voit encore mieux en images animées...

Philoux

Périmètres de rectangles.

Posté par daniel12345 (invité)re : Périmètres de rectangles.** 05-07-05 à 14:18



  Soit x,y,z les longueurs des 3 segments du cote DC
  Soit X,Y,Z les longueurs des 3 segments du cote DA

  on a X+Y+Z+x+y+z=17  (1)

  de plus      X+y = 4.5
                 Y+x = 7
                 Z+y = 5
                 Y+z = 3.5

  d'ou        X+Y+Z+x+y+z+(Y+y)=20  (2)

        (2) - (1) donne  Y+y=20-17=3

        le perimetredu rectangle rouge est 6



  
              
  

Posté par jo15 (invité)re : Périmètres de rectangles.** 05-07-05 à 17:10

gagnéLa largeur du rectangle est divisée en 3 parties de longueur A, B et C (de haut en bas).
La longueur du rectangle est divisée en 3 parties de longueur D, E et F (de gauche à droite).

On recherche donc le périmètre : 2x(B+E).

Cela donne les équations suivantes :
2x(A+B+C+D+E+F) = 34
2x(A+E) = 9
2x(B+D) = 14
2x(B+F) = 7
2x(C+E) = 10

Celles-ci deviennent bien vite :
A+B+C+D+E+F = 17
A = 9/2 - E
D = 7 - B
F = 7/2 - B
C = 5 - E

On remplace, dans la 1ere équation, A, C, D et F par les valeurs données dans les 4 autres, ce qui donne :
B+E = 3

Le périmètre recherché est donc de : 6 cm

Posté par
laotze
reérimètres de rectangles. 05-07-05 à 22:11

gagnéBonjour à tous!

Voilà:

Je colorie les côtés du rectangle de 14 cm de périmètre en bleu
Je colorie les côtés du rectangle de 9 cm de périmètre en rose
Je colorie les côtés du rectangle de 7 cm de périmètre en cyan
Je colorie les côtés du rectangle de 10 cm de périmètre en vert

Je déplace deux côté de chaque rectangle coloré vers les "bords" du rectangle ABCD (le mouvement de déplacement est symbolisé par les flèches noires; les côtés avant les déplacement sont en pointillé)

D'après le schéma ci-joint:

on a: 14+9+10+7 = 34 + périmètre du rectangle rouge

Donc périmètre du rectangle rouge = 6 cm

@++


re:Périmètres de rectangles.

Posté par Yalcin (invité)re : Périmètres de rectangles.** 06-07-05 à 00:37

gagnéBonjour

On a :

2(a+b)=14

2(c+d)=9

2(a+f)=7

2(e+c)=10

Or 2((a+d+e)+(b+c+d))=34

Donc a+b+c+d+e+f=17

or 2a+b+2c+d+e+f=(14+9+7+10)/2=20

donc on a (a+b+c+d+e+f)+(a+c)=20

donc on a 17+(a+c)=20

donc 2(a+c)=6

donc le périmètre du rectangle rouge vaut 6 cm².

voilà

Posté par b16582002 (invité)re : Périmètres de rectangles.** 06-07-05 à 01:44

gagnéIl bien clair sur le schema que:
AJ+KL+DE=14-MO
IB+HG+FC= 7-NP
DL+EF+CG= 9-MN
KA+JI+HB=10-OP
Si on somme ces quatre equations:
Perimetre de ABCD= 40-Perimetre du carré rouge
d'ou perimetre du carré rouge= 40-34=6

Périmètres de rectangles.

Posté par PolytechMars (invité)un retour... 06-07-05 à 13:29

perdudonc on va voir si les correcteurs sont tolerants avec moi :..lol
en faisant une notation logique des differentes distances, on a les equations : b+d+e+f=9/2+10/2+x/2 et e+a+b+c=14/2+7/2+x/2 , x etant le perimetre du rectangle rouge.. Or b+d=9/2 et e+c=7/2 puis on sigmate ses deux equations et on obtient l equation : 8+a+b+e+f=40/2+x.. or a+e=14/2 et b+f=10/2 ce qui nous donne 8+7+5=20+x soit x=0 donc le perimetre du rectangle rouge est nulle...

Mioauw en esperant voptre indulgence...

Posté par
mikamun
re : Périmètres de rectangles.** 06-07-05 à 15:24

gagnéTout d'abord, on peut trouver l'expression algébrique équivalente à chaque côté:

Périmètres de rectangles.

J'ai donc nommé le côté du rectangle rouge y et sa hauteur x.
Les expressions des autres côtés sont biensûr données par (- la mesure du coté qu'on a déjà + la moitié de son périmètre)

Puisque le périmètre du grand rectangle (ABCD) est égal à 34 cm, on sait qu'il comprend la somme algébrique de tous les côtés (additionnées deux fois). Donc:

34 = (x+y-x+7-X+3.5-y+5-y+4.5+x+y-x+7-X+3.5-y+5-y+4.5)
34 = -2x-2y+40

On cherche donc la valeur de x

0  = -2x-2y+6
2x = -2y+6
x  = -y+3

Ensuite, on n'a qu'à remplacé cette valeur dans l'expression qui donne le périmètre du rectangle de 10 cm par exemple.

10 = y+y+(-(-y+3)+5)+(-(-y+3)+5);
10 = 4y+4
y  = 1.5

Donc:

x  = -y+3
x  = -1.5+3
x  = 1.5

x = 1.5  ;  y = 1.5

Donc le périmètre du rectangle rouge, qui est un carré est:

P = 1.5+1.5+1.5+1.5
P = 6 cm

Même si cela me semble étrange, je dirais que la zone rouge a un périmètre de\red \fbox{6 cm}

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Périmètres de rectangles.** 07-07-05 à 07:36

Enigme clôturée.

La solution attendue était 6 cm.

Comme c'est les vacances, j'ai accordé un à tous ceux qui ont répondu 6 même si ils ont oublié de préciser l'unité ou mis une unité fantaisiste.
Une fois n'est pas coutume.



Posté par PolytechMars (invité)honte sur moi... 07-07-05 à 12:13

perduexcusez de m etre melange a ce monde de mathematicien..
Toutes mes excuses et felicitations a tous le sparticipants..
comme on dit, l important est de participer, non..?
Miaouw..
www.multimania.com/bronxcedric/chats018.gif

Posté par philoux (invité)re : Périmètres de rectangles.** 07-07-05 à 12:21

gagnéSalut PolytechMars

De retour par minou ? (je ne pouvais pas la laisser passer, celle-là ! )

Pour cette énigme,
- l'explication fournit par laotze posté le 05/07/2005 à 22:11,
- et l'animation correspondante posté le 05/07/2005 à 13:11,
étaient les résolutions les plus rapides, non ?

Philoux

Posté par
infophile
re : Périmètres de rectangles.** 07-07-05 à 13:32

gagnéBonjour

Heureusement que J-P a été indulgent avec la demande d'unité (que j'ai omise ), sans quoi j'aurais encore eu le droit à un ! Merci J-P et bonne vacances

>>philoux

Je crois être le seul à avoir fait un truc bizarre (enfin ça revient au même). Mais pour la méthode la plus rapide j'opte également pour le raisonnement adopté par Severus (et d'autres similaires). Pas mal ton animation

@+
Kevin


Posté par philoux (invité)re : Périmètres de rectangles.** 07-07-05 à 13:43

gagnéSalut Kevin

Effectivement, Severus et d'autres ont trouvé l'expression du périmètre rouge par soustraction.

laotze a, lui/(elle ?), expliqué la justification par considération géométrique, plus visuelle...

Philoux

Posté par
infophile
re : Périmètres de rectangles.** 07-07-05 à 14:05

gagnéOui c'est vrai, et ton gif va te paire avec .

Deux méthodes simples pour une solution, c'est parfait

Bonne journée

Posté par
elda
re : Périmètres de rectangles.** 07-07-05 à 14:34

gagnéc'est vrai que la méthode de laotze est bien!! il fallait y penser.

1 2 +


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