* Si on suppose que la durée de vie d'une machine suit une loi exponentielle avec une moyenne de 20 000 heures. Cela signifie que la probabilité qu'une machine tombe en panne pendant une période t est donnée par :

P(panne pendant t) = 1 - exp(-t/20000)

La probabilité qu'une machine ne tombe pas en panne pendant une période t est donnée par :

P(pas de panne pendant t) = exp(-t/20000)

Ces équations proviennent de la fonction de survie de la loi exponentielle, qui décrit la probabilité qu'une machine survive sans tomber en panne pendant une période donnée. La fonction de survie est donnée par :

S(t) = exp(-t/20000)

La probabilité qu'une machine tombe en panne pendant la période de garantie est donc égale à la probabilité qu'elle ne survive pas jusqu'à la fin de la période de garantie, ce qui est égal à 1 moins la probabilité qu'elle survive jusqu'à la fin de la période de garantie. C'est pourquoi la probabilité qu'une machine tombe en panne pendant la période de garantie est égale à 1 - exp(-t/20000).




* Pour déterminer la garantie minimale à appliquer pour réaliser un profit de 80€ par machine vendue, nous devons considérer les coûts associés à la production, à la garantie et aux ventes.

Le coût de production par machine est de 100€, tandis que le prix de vente est de 300€. Par conséquent, le profit brut par machine est de 200€.

Cependant, nous devons prendre en compte les coûts de garantie. Si une machine tombe en panne pendant la période de garantie, le coût pour le vendeur est de 150€. Nous devons donc considérer la probabilité qu'une machine tombe en panne pendant la période de garantie.

Nous savons que la durée de vie d'une machine suit une loi exponentielle avec une moyenne de 20000 heures. Nous pouvons utiliser cette information pour déterminer la probabilité qu'une machine tombe en panne pendant la période de garantie.

Si nous supposons que la période de garantie est de t heures, alors la probabilité qu'une machine tombe en panne pendant la période de garantie est égale à 1 - exp(-t/20000).

Maintenant, nous pouvons calculer le coût moyen de garantie par machine. Le coût moyen de garantie est égal à la probabilité qu'une machine tombe en panne pendant la période de garantie multipliée par le coût de garantie de 150€. Donc, le coût moyen de garantie est de 150*(1 - exp(-t/20000)) €.

Le profit net par machine est égal au profit brut moins le coût moyen de garantie. Nous pouvons écrire cette équation :

Profit net = 200 - 150*(1 - exp(-t/20000))

Nous voulons déterminer la période de garantie t qui nous donne un profit net de 80€. Nous pouvons résoudre cette équation pour t :

80 = 200 - 150*(1 - exp(-t/20000))

150*(1 - exp(-t/20000)) = 120

1 - exp(-t/20000) = 0.8

exp(-t/20000) = 0.2

-t/20000 = ln(0.2)

t = -20000*ln(0.2) ≈ 32188,75 heures.

Alors, peut-être que c'est moi qui confond P(panne pendant t) et P(pas de panne pendant t).
Dans ce cas on aurait bien  4462,87 heures soit environ 6 mois et 11 jours de garantie.

En tout cas merci à verdurin.