bonsoir ,
L'ensemble de definition : pour quelles valeurs  de f(x) ,ln(f(x)) est il defini?
Periode ,methode générale : on cherche T tel que f(x+T) = f(x) dans l'ensemble de definition.

Maintenant ,pour la periode , tu n'es peut etre pas obligée ici de faire le calcul....

Pardon, je voulais écrire R⁺ pour le domaine de définition de ln ^^

Mais du coup, pour trouver la périodicité je dois écrire "sin (ln(x²+1)) + T = f(x)" ?

Bah on : si tu appliques la definition c'est x qui devient x+T

Ah donc je dois écrire "sin (ln(x+T)²+1)) = f(x)" ?

oui quel que soit x dans l'ensemble de definition

Et du coup comment on fait pour savoir si la fonction est périodique à partir de cette équation ?

?

Suppose qu'il existe un réel T > 0  tel que f soit  T-périodique .
On a donc  , pour tout x réel , sin (ln(1 + x²)) = sin (ln( 1 + (  T + x)²))  et ln( 1 + (T + x)²) - ln(1 + x²) . .
La continuité de   l'application x    ln( 1 + (T + x)²) - ln(1 + x²) (de vers )  fait qu'elle est constante .

  Sa dérivée  est aussi constante , mais   toujours nulle .
On a  alors  (1 + x²)(x + T) - x( 1 + (x + T)²)  = 0 pour tout x  et en particulier,   pour x = 0 , on obtient T = 0 .
C'est en contradiction avec T > 0 .
Il existe donc un entier n tel que  ( 1 + (x + T)²) /(1 + x²)] = exp(n

Il faut améliorer ce que je viens d'envoyer :
pour tout x réel  on a : ln( 1 + (T + x)²) - ln(1 + x²)     ou ln( 1 + (T + x)²) + ln(1 + x²)      .
La continuité de u :  x   ln( 1 + (T + x)²) - ln(1 + x²)   et de  v : x   ln( 1 + (T + x)²)  +  ln(1 + x²)  entraine que u ou v est constante .

On a vu que si  u  est constante on est en contradiction avec T > 0 .
Si c'est v qui est constante   , w : x ( 1 + (T + x)²)(1 + x²) l'est aussi ce qui n'est clairement pas le cas .

Faut faire tout ça pour trouver si c'est périodique ou pas ?
Pourquoi vous avez ajouté "+ ln (1+x²)" ?

1.
    Pourquoi j'ai  ajouté "+ ln (1+x²)"   ?

Parce qu'on a :  Sin(u) = sin(v)   SSI   (  u - v 2  ou   u + v   + 2 )

Je m'aperçois qu'il faut corriger ce que j'ai écrit  .

C'est  ln( 1 + (T + x)²) - ln(1 + x²)   2 au lieu de  ln( 1 + (T + x)²) - ln(1 + x²)  

et  ln( 1 + (T + x)²) +  ln(1 + x²)   + 2 au lieu de  ln( 1 + (T + x)²) + ln(1 + x²)  

2.
Faut faire tout ça pour trouver si c'est périodique ou pas ?
Si tu trouves + simple , fais nous en profiter !