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permutations sur un ensemble à 4 éléments
Bonjour,
j'ai plusieurs questions sur un exercice :
Soit S4 l'ensemble des permutations d'un ensemble à 4 éléments E = {a, b, c, d}
1°) a) Quels sont les ordres possibles des sous groupes de S4 ?
b) Déterminer les sous groupes d'ordre 2 et les sous groupes d'ordre 3.
c) Déterminer les sous groupes engendrés respectivement par les deux transpositions (a, b) et (c, d) et par la permutation circulaire s=(a,b,c,d). Sont-ils isomorphes ?
2°) On suppose que a,b,c,d sont 4 points distincts du plan et l'on appelle IE l'ensemble des isométries qui laissent globalement invariant l'ensemble E={a,b,c,d}
a) Justifier que(IE,°) est un groupe. Peut-il être réduit à {Id}?
b) On suppose que abcd est un rectangle non carré, démontrer que (IE,°) peut être identifié à un sous groupe de (S4,°) que l'on précisera.
c) Etudier de même le cas où abcd est un carré
d) Existe-t-il une disposition des a,b,c,d pour laquelle (IE,°) peut être identifié à (S4,°)?
Est - ce que quelqu'un peut m'aider à dégrossir tout ça ?
Déjà, je ne sais plus ce que c'est que l'ordre d'un sous groupe, les sous groupes engendrés par ...
Merci
Sylvie
Bonjour
L'ordre d'un sous-groupe est tout simplement son cardinal (le nombre de ses éléments). Le théorème de Lagrange affirme que l'ordre d'un sous-groupe divise l'ordre d'un groupe.
Un sous-groupe engendré par une famille d'éléments est le plus petit sous-groupe qui contient cette famille. Pour le déterminer, il faut calculer les produits des éléments de la famille et de leurs inverses.
Par exemple, (a,b)-1=(a,b), et (a,b)2=Id donc le sous-groupe engendré par (a,b) est formé des deux éléments Id et (a,b).
Essaye de continuer!
Je pense avoir compris comment déterminer les sous groupes engendrés par les transpositions mais je ne sais pas comment montrer s'ils sont isomorphes
Un sous-groupe d'ordre 2 contient necessairement l'identité et un autre element qui se doit d'etre d'ordre 2 ils sont donc de la forme {Id,T} avec T une transposition.
Car l'ordre d'un element divise l'ordre du groupe donc ici c'est soit 1 (l'identité) soit un element d'ordre 2.
D'ailleurs c'est pas tres correct ce que j'ai ecrit car un produit de transposition à support disjoint est aussi d'ordre 2.
Il faut donc rajouter les sous-groupes {Id,(1 2) (3 4)},{Id,(1 3)(2 4)} et
{Id,(1 4),(2 3)}.
En espérant ne pas m'etre trompé cette fois-ci.
Un sous-groupe contient toujours l'element neutre. De plus tu vois bien ici que si tu fais le produit (a b)( c d) tu trouves un autre élément donc tu sors du groupe.
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