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Niveau maths sup
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Perpendiculaire a deux droites.

Posté par jmix90 (invité) 26-07-05 à 22:37

Bonjour,

J'ai un problème que je n'arrive pas (encore et toujour !) à résoudre.

J'ai deux droites définit par des plans :

3$(D1):\rm~\{{x+3y+z=0\atop 3x-y+z=7} \rm~~et~(D2):\rm~\{{x+z=2\atop 5x-y+7z=8}

On me demande la perpendiculaire à ces deux droites ainsi que leurs distances...

J'ai calculé le vecteur directeur de la perpendiculaire à l'aide de produit vectoriel mais après je vois pas comment trouver l'equation de la droite....

Le vecteur directeur de la perpendiculaire: \(\array{-13\\5\\21}\)

Si quelqu'un pouvait m'apporter sa lumière, merci d'avance

Amicalement,

Posté par jmix90 (invité)re : Perpendiculaire a deux droites. 26-07-05 à 23:29

Je pense chercher un point A de (D1) et un point B de (D2) après avoir trouvé leurs equations paramétriques.

Ensuite écrire que \vec{AB}=a\vec{V1} + b\vec{V2} + \vec{V3} avec V1,V2,V3 vecteurs directeur de (D1),(D2) et de leurs perpendiculaires. Et comme (V1,V2,V3) forment une famille libre, c'est donc un R-ev et donc (a,b,c) est un triplet unique.

Ensuite determiner (a,b,c) avec un système de Cramer, et ensuite en déterminer les coordonnées des points d'intersection entre (D1),(D2) et leurs perpendiculaire commmune pour finalement trouver la distance entre (D1) et (D2) ainsi que l'equation de cette perpendiculaire....

Mais cela me parait un peu compliqué, donc est ce que quelqu'un voit une meilleur méthode ?

De plus comment trouver facilement un point appartenant a (D1) et  un autre à (D2) ??

Merci d'avance !!

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : Perpendiculaire a deux droites. 27-07-05 à 00:46

Bonjour jmix90;
pour trouver un point d'une droite définie comme intersection de 2 plans (comme c'est le cas ici) il te suffit de donner une valeur arbitraire à l'une des variables x,y ou z et déduire aprés la valeur des 2 autres par exemple pour (D_1)si tu fais y=0,tu trouves x=-z=\frac{7}{2} un point de (D_1) est donc A_1\(\frac{7}{2}\\0\\-\frac{7}{2}\)

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : Perpendiculaire a deux droites. 27-07-05 à 03:03

Re-bonjour jmix90;
Pour trouver un vecteur directeur \vec{u_1} de (D_1) on considére la droite vectorielle direction qui est d'équation:
(\vec{D_1})\{{x+3y+z=0\atop\ 3x-y+z=0(obtenue en annulant les termes constants dans l'équation de(D_1)) en faisant la différence de ces 2 équations on a: \{{x=2y\atop\ z=-5y
en faisant y=1 on a \vec{u_1}\(2\\1\\-5\)
si tu fais de mm pour (D_2) tu dois trouver
\vec{u_2}\(-1\\2\\1\)(ou un vecteur colinéaire)
notons (\Delta) la perpendiculaire commune dirigée donc par le vecteur \vec{u}=\vec{u_1}^\vec{u_2}
on trouve \vec{u}\(11\\3\\5\) (à moins que je ne me trompe ) il nous faut donc un point A de (\Delta) comment faire?
soit (P)le plan passant par A_1 et dirigé par (\vec{u_1},\vec{u}) il est d'équation:
(P):8x-26y-2z-35=0 comment j'ai fait?
(facile:un vecteur normal est \vec{u_1}^\vec{u})trouvons maintenant une représentation paramétrique de (D_2)soit:
(D_2)\{{x=1-t\atop\ y=4+2t\\ z=1+t
et bien (D_2) coupe (P) en un point de (\Delta) pour le trouver on remplace le paramétrage de (D_2) dans l'équation de (P) ce qui donne:
8(1-t)-26(4+2t)-2(1+t)-35=0 ie t=-\frac{133}{62}
(c'est pas joli comme valeur à moins que je ne me trompe )
et donc que le point d'intersection de (D_2) et (\Delta) est A\(\frac{195}{62}\\-\frac{18}{62}\\-\frac{71}{62}\)
et voilà tu as (\Delta) pour la distance entre (D_1) et (D_2) c'est exactement d(A,(D_1))=\frac{||\vec{AA_1}\times\vec{u_1}||}{||u_1||} (\times désignant le produit vectoriel)
Voilà,c'est un peu long mais le principal y est

Posté par aicko (invité)re : Perpendiculaire a deux droites. 27-07-05 à 03:03

vecteur directeur de D_1 :
\vec{u} =\left( \1\\3\\1\right) ^\left( \3\\-1\\1\right)=\left( \3*1-1*(-1)\\1*3-1*1\\1*(-1)-3*3\right)=\left( \4\\2\\-10\right)

de même vecteur directeur de D_2:
\vec{v} =\left( \1\\0\\1\right) ^\left( \5\\-1\\7\right)=\left( \0*7-1*(-1)\\1*5-1*7\\1*(-1)-0*5\right)=\left( \1\\-2\\-1\right)


on cherche un vecteur directeur \vec{w}=\left(\a\\b\\c\right)  tel que :

\vec{u}.\vec{w}=0
\vec{v}.\vec{w}=0

\{{4a+2b-10c=0 (1) \atop a-2b-c = 0 (2)}

en faisant (1)+(2)
on obtient  5a-11c=0

prenons c=5 alors a=11 et b=3


donc
\vec{w}=\left(\11\\3\\5\right) est un vecteur directeur de la droite D

ensuite ta droite D doit etre definie comme l'intersection de deux plans ou tu peux passer par les equations paramétriques
pour trouver la distance entre D_1 et D_2 il faut trouver les coordonnées des points A et B pts d'intersection respectifs de d_1 et D puis D_2 et D et par définition la distance entre deux droite est l'inf des distances entre deux points de chaque droite et en l'occurrence c'est la distance AB.....














Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re: Perpendiculaire a deux droites. 27-07-05 à 04:30

Salut,
aicko, bonne idée pour la détérmination d'un vecteur directeur d'une droite (dans le cas où celle-ci est définie comme intersection de 2 plans).
pourquoi tu n'as pas fait \vec{w}=\vec{u}^\vec{v} ?

Posté par jmix90 (invité)bonjour 27-07-05 à 11:09

Bonjour elhor et les autres !

elhor_abdelali j'ai reprit tes calculs et pour l'équation du plan je trouve (P):4x+9y-z-\frac{35}{2} ce qui me donne finalement t=\frac{-17}{26} et A=\(\array{\frac{69}{26}\\\frac{9}{1}\\\frac{-17}{26}}\)...

Je me suis trompé quelque part ?

Amicalement et merci !

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re: Perpendiculaire a deux droites. 27-07-05 à 14:31

Bonjour tout le monde;
jmix,comment as-tu trouvé l'équation de (P)?

Posté par jmix90 (invité)re : Perpendiculaire a deux droites. 27-07-05 à 15:22

Salut !

J'ai trouvé un vecteur normal du plan,  \vec{u1}\times \vec{u} (x: produit vectoriel!) et je trouve comme résultat:  5\(\array{4\\9\\-1}\) j'en déduis que P a pour equation 4x+9x-z+\lambda et je détermine \lambda= \frac{-35}{2} en disant que A appartient à P..

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : Perpendiculaire a deux droites. 27-07-05 à 16:26

Tu es sur du 9,ce n'est pas plutot un -13 ? (à vérifier)

Posté par jmix90 (invité)re : Perpendiculaire a deux droites. 27-07-05 à 17:36

Si je suis désolé de toi, je fais des bêtes erreurs de calcul !

Merci beaucoup !

Posté par jmix90 (invité)f 27-07-05 à 17:38

J'ai même du mal a parler francais

J'ai du mal pour de simples calculs ca va pas !

merci encore elhor pour tes précieux apports !

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
reerpendiculaire a deux droites. 27-07-05 à 18:04

Re-bonjour jmix,voici une autre façon de faire l'exercice qui utilise les extrémas d'une fonction réelle à 2 variables:
tu trouves une représentation paramétrique de chaque droite soit:
(D_1)\{{x=\frac{7}{2}+2s\atop\ y=s\\z=-\frac{7}{2}-5s et (D_2)\{{x=1-t\atop\ y=4+2t\\z=1+t
tu considéres alors la fonction F(s,t) égale au carré de la distance euclidienne entre 2 points de (D_1) et (D_2) (respectivement) c'est à dire que:
F(s,t)=(2s+t+\frac{5}{2})^2+(s-2t-4)^2+(5s+t+\frac{9}{2})^2
il s'agit donc de détérminer le couple de paramétres (s_1,t_1) pour lequel F(s,t) est minimale une recherche des points critiques de F donne le systéme:
\{{\frac{dF}{ds}(s,t)=4(2s+t+\frac{5}{2})+2(s-2t-4)+10(5s+t+\frac{9}{2})=0\atop\ \frac{dF}{dt}(s,t)= 2(2s+t+\frac{5}{2})-4(s-2t-4)+2(5s+t+\frac{9}{2})=0\}\Longleftrightarrow\{{60s+10t+47=0\atop\ 10s+12t+30=0 ce qui donne:
\{{s_1=-\frac{26,4}{62}\atop\ t_1=-\frac{133}{62}
il ne te reste plus qu'a remplacer ces 2 valeurs dans les paramétages de (D_1) et (D_2) (respectivement) pour trouver les 2 points A_1 et A_2 ta perpendiculaire commune est (\Delta)=(A_{1}A_{2}) et la distance entre les 2 droites est \sqrt{F(s_1,t_1)}
Voilà,j'espére que je ne dis pas de bétises

Posté par jmix90 (invité)R 27-07-05 à 23:13

Bonsoir,

C'est pas courant du tout comme méthode, ou du moins je ne l'avais jamais vu mais je dois dire que je la trouve beaucoup plus simple, en tout cas moins longue. En plus ca montre que tu connais tout ton cours de math-sup...

J'aime vraiment bien cette méthode, c'est celle que je vais retenir !

Merci beaucoup, j'apprends beaucoup avec vous et spécialement toi elhor alors bravo !

Amicalement,

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re:pendiculaire a deux droites. 28-07-05 à 15:44

Bien entendu: \sqrt{F(s_1,t_1)}=A_1A_2



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