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Niveau terminale
Perpendiculaire commune et distance entre deux droites
Posté par A-lts
Bonjour,
J'ai un exercice à faire en dm concernant le produit scalaire dans l'espace mais je n'arrive pas à répondre aux questions, voilà l'énoncé:
(AB) et (A'B') sont deux droites non coplanaires de l'espace.
La droite 
est la perpendiculaire commune aux droites (AB) et (A'B').
H et H' désignent respectivement les points d'intersection de la droite avec les droites (AB) et (A'B').
1. Démontrer que, pour tout point M de (AB), pour tout point M' de (A'B') :
MM' ² = MH² + H'M'² + HH'²
2. ABCDA'B'C'D' est un cube. M et M' sont deux points mobiles appartenant respectivement aux droites (BC) et (A'C'). Où placer M et M' pour que la distance MM' soit minimale?
Pour la première question, on peut montrer que d'après la relation de Chasles,
MM' = MH + H'M' + HH'
MM' = MH + HH' + H'M'
Mais ensuite, je ne vois pas le rapport avec les ² et je ne suis pas sure que cela suffise à démontrer l'égalité.
Je ne vois pas comment faire pour la seconde.
Merci d'avance! 
Hello,
1)
Tu prends la première égalité et tu l'élève au carré et n'oublie pas les doubles produits qui sont nuls car les vecteurs sont orthogonaux.
2)
Si tu regardes bien la figure tu vois que :
(AB) correspond à (BC)
(A'B') à (A'C')
à (C'C)
H à C
H' à C'
tu calcules en tenant compte de la 1)....etc...
Merci beaucoup! Mais je ne comprends pas comment faire pour la première question...
MM' = MH + H'M' + HH' au carré reviendrait à ça? :
MM'.MM' = MH.MH + H'M'.H'M' + HH'.HH' et je fais quoi ensuite?
D'accord! La question me parait vraiment toute bête maintenant! Mais alors, quelle est l'utilité d'avoir mis l'expression au carré? Parce qu'on aurait pu simplement nous demander d'après Chasles d'exprimer MM' et on aurait trouvé une égalité avec H' , H , M et M'.
Pour la 2, ça revient alors à :
MM'² = MC² + C'M'² + CC'²
D'après la figure, il semblerait que la distance soit minimale lorsque M est sur C et M' sur A' et lorsque M est sur B et M' sur C' ?
Désolée mais décidemment, je n'y arrive vraiment pas sur cet exercice!
Citation :
D'accord! La question me parait vraiment toute bête maintenant! Mais alors, quelle est l'utilité d'avoir mis l'expression au carré? Parce qu'on aurait pu simplement nous demander d'après Chasles d'exprimer MM' et on aurait trouvé une égalité avec H' , H , M et M'.
D'accord! La question me parait vraiment toute bête maintenant! Mais alors, quelle est l'utilité d'avoir mis l'expression au carré? Parce qu'on aurait pu simplement nous demander d'après Chasles d'exprimer MM' et on aurait trouvé une égalité avec H' , H , M et M'.
Parce qu'il fallait une égalité sur les longueurs pas sur les vecteurs....pour résoudre la 2).
Citation :
Pour la 2, ça revient alors à :
MM'² = MC² + C'M'² + CC'²
D'après la figure, il semblerait que la distance soit minimale lorsque M est sur C et M' sur A' et lorsque M est sur B et M' sur C' ?
Pour la 2, ça revient alors à :
MM'² = MC² + C'M'² + CC'²
D'après la figure, il semblerait que la distance soit minimale lorsque M est sur C et M' sur A' et lorsque M est sur B et M' sur C' ?
l'égalité est correcte avec ou sans vecteur comme expliqué ci-dessus. Par contre pour minimiser cette longueur MM' il faut minimiser MC et M'C', autrement dit il faut MC=M'C'=0....c'est à dire M en C et M' en C'.
C'est tout bête
Et donc on en revient à dire que MM' est minimale lorsque MM'=CC'. En effet, quand vous expliquez ainsi, ça parait.. tout bête. Donc pour la rédaction de la seconde question, votre explication et dire que MM' est minimale lorsque MM'=CC' suffit pour répondre à la question?
En tout cas, merci beaucoup pour votre aide!