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perpendiculaire et distance minimale

Posté par matt075 (invité) 04-11-06 à 10:23

Bonjour !
Soient une droite (d) et un point A à l'extérieur de la droite (d).

Comment est-ce que je peux prouver que la distance minimale entre le point A et la droite (d) est la perpendiculaire à la droite (d) passant par A ?

ça me parait tellement logique que je ne sais plus comment le démontrer :-S

Merci d'avance pour vos réponses !


PS : je mets ce post dans le forum "fonctions polynômes" car j'ai besoin de faire cette justification pour développer mon raisonnement dans un problème sur les polynômes

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : perpendiculaire et distance minimale 04-11-06 à 10:33

Bonjour,

Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est le côté le plus long ?

Nicolas

Posté par matt075 (invité)re : perpendiculaire et distance minimale 04-11-06 à 10:36

ah oui c'est vrai je peux utiliser cette propriété ! Merci

mais il n'y a pas une démonstration qui ne soit pas géométrique ?

de toute façon je garde la justification par l'hypothénuse dans un coin

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : perpendiculaire et distance minimale 04-11-06 à 10:38

Tu peux le démontrer en prenant une équation de la droite, etc... mais c'est assez lourd.

Posté par matt075 (invité)re : perpendiculaire et distance minimale 04-11-06 à 10:46

pourrais-tu quand même m'expliquer vaguement (ne serait-ce que pour ma culture) s'il te plait ?
mais bon si tu veux pas c'est pas grave

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : perpendiculaire et distance minimale 04-11-06 à 10:51

Réflexion faite, faire intervenir une équation de droite est utile pour exprimer la valeur de la distance du point à la droite. Pour montrer que la distance la plus courte est le "perpendiculaire", je ne vois rien de plus adapté que l'argument de l'hypoténuse.

Ou sa variante avec Pythagore :
Soit M un point quelconque de la droite.
Et H le projeté orthogonal de A sur la droite :
AM² = AH² + HM² minimal quand H=M

Posté par
pgeod
re : perpendiculaire et distance minimale 04-11-06 à 10:53

Bonjour,

Une démonstration qui en vaut une autre :

Soit H le projeté ortho de A sur (d). En posant un repère orthonormé (H; i ; HA) le long de la droite, on peut exprimer les coordonnées courantes d'un point M de la droite (d) par (x ; 0). Soit f la fonction x --> f(x) = AM² = x² + h² (d'après pyhagore).
C'est une fonction carré --> minimum de la fonction en x = 0

....

Posté par
pgeod
re : perpendiculaire et distance minimale 04-11-06 à 10:54

Bonjour Nicolas.
...

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : perpendiculaire et distance minimale 04-11-06 à 10:55

Salut pgeod !

Posté par matt075 (invité)re : perpendiculaire et distance minimale 04-11-06 à 12:27

merci à vous 2 pour vos réponses...
finalement je crois que je vais utiliser la propriété de l'hypothénuse je ne pense pas que le prof attende un changement de repère...

en tous cas merci à vous 2 !

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : perpendiculaire et distance minimale 04-11-06 à 12:28

Pour ma part, je t'en prie.

PS - hyponuse

Posté par matt075 (invité)re : perpendiculaire et distance minimale 04-11-06 à 12:37

  merci pour la correction ça m'évitera une faute !



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