petit défi

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petit défi
Posté par 
Rafalo  08-06-07 à 19:31
bonjour,

Voilà je me lance dans des petits défis.

soit 2 nombres positifs a et b.

Déterminer s'il existe des rectangles de périmètre 2a et d'aire b.

bonne chance  

niveau : première

difficulté: *

réponse en nouveau blanqué et résolution de niveau première (si un membre poste une réponse de niveau post bac je ne pourais valider la méthode ....  )
 Posté par 
_Estelle_re : petit défi  08-06-07 à 19:43
Bonsoir 

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Soient x et y, s'ils existent, les côtés du rectangle.

Alors on a : 

Et ensuite, je réfléchis 

Estelle 
 Posté par 
Rafalore : petit défi  08-06-07 à 19:45
tu es sur ma méthode et tu es bien parti... 
 Posté par 
_Estelle_re : petit défi  08-06-07 à 19:54
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Oui mais je ne vois pas comment résoudre... je fais en fonction de a et b ?

Estelle 
 Posté par 
moctarre : petit défi  08-06-07 à 19:56
Salut,

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Alors on a :demi périmètre=a et aire=b

Soit x et y les cotés de ce rectangle alors on a 

x+y=a et xy=b donc x et y sont les solutions de l'équation 

Est la bonne voie avant que je me lance dans les calculs
 Posté par 
jamo re : petit défi  08-06-07 à 19:58
Bonjour,

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les dimensions du rectangle sont les solutions de l'équation x²-ax+b=0

Le calcul du discriminant donne la condition sur a et b pour que la solution existe ...
 Posté par 
jamo re : petit défi  08-06-07 à 19:59
moctar >> 
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attention, x²-ax+b n'est pas une équation ... mais x²-ax+b=0 en est une ! 
 Posté par 
moctarre : petit défi  08-06-07 à 20:00
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c'est fait,il peut existe un carré mais pas un rectangle car l'une des solutions est négative
 Posté par 
moctarre : petit défi  08-06-07 à 20:02
jamo>>

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je pensais avoir écrit le "=0"...
 Posté par 
Rafalore : petit défi  08-06-07 à 20:05
estelle: 
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ne te décourage pas, revient à une équation a une inconnue

moctar:  Cliquez pour afficher
très bien tu es sur la bonne voie . (ca serait bien de distinguer 3 cas possibles ) je te laisse continuer.

 Posté par 
Rafalore : petit défi  08-06-07 à 20:07
moctar: 
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car l'une des solutions est négative. 
 Revérifie bien.
 Posté par 
moctarre : petit défi  08-06-07 à 20:20
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oui c'est vrai que je me suis un près précipité...

je recommence.

-Si le discriminant est négatif et nul c'est à dire ,alors il existe pas de rectangle...

-Soit le discriminant est strictement positif c'est à dire ,alors l'équation  admet 2 solutions  et (qui est positif)

Cherchons le signe de x

(qui est lui aussi positif)

Alors il esiste des rectangles de périmétre 2a et d'aire b si et seulement si  avec a et b positifs
 Posté par 
plumemeteorere : petit défi  08-06-07 à 20:26
bonjour Rafalo

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si la somme de deux nombres est constante, leur produit est maximum quand ces nombres sont égaux

ici, la somme est a/2 et il faut que b <= a²/4
 Posté par 
Rafalore : petit défi  08-06-07 à 20:41
moctar: 
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très bien tu as prouver l'existence d'un rectangle avec des conditions sur a et b. Mais pourquoi ignore tu le cas où =0 ? et pourquoi as tu ignoré x2 ?

je te donne quand meme une autre méthode pour prouver que les racines sont positives  

x2>0 et x1x2 = b or b>0 donc x1>0. 

plumemeteore:  Cliquez pour afficher
et pourrais expliqué pourquoi x+y= a/2 ?
 Posté par 
moctarre : petit défi  08-06-07 à 20:49
Rafalo>>

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sur le premier tiret j'ai écris négatif ou nul,car si c'est nul on a un carré pas un rectangle.

Merci pour l'autre méthode
 Posté par 
Rafalore : petit défi  08-06-07 à 21:01
moctar :
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 pourquoi lorsque le discriminant est nul a-ton un carré ? de plus un carré n'est il pas un rectangle ? essaie avec un exemple en prenant a=4 et b=4 
 Posté par 
_Estelle_re : petit défi  08-06-07 à 21:05
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 donc x=a-y d'où (a-y)y=b <=> ay-y²-b=0 <=> y²-ay+b=0.

 =>  et 

Je suis sur la bonne voie ?

Estelle 
 Posté par 
Rafalore : petit défi  08-06-07 à 21:07
estelle: 
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exact tu es sur une bonne voie. Pose des conditions sur a et b pour avoir l'existence d'un rectangle (pense aussi à ce que les longueurs soient positives).

 Posté par 
moctarre : petit défi  08-06-07 à 21:11
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si le dicriminant est égal à 0 alors il y a une solution double ce qui veux dire x et y (les cotés du rectangles) sont égaux,dont on a un carré qui est bien sûr un rectangle 
 Posté par 
Rafalore : petit défi  08-06-07 à 21:16
moctar: 
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tout à fait d'accord c'est bon ... 
 Posté par 
_Estelle_re : petit défi  08-06-07 à 21:17
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Il faut a²-4b>0 soit a²>4b et on a a,b>0 donc a>2Vb.

Si a>2Vb :

(*) Si , alors .

(*) Si , alors .

Estelle 
 Posté par 
infophilere : petit défi  08-06-07 à 23:18
Bonsoir 

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Soient  et  les côtés du rectangle qui vérifient :

On isole  et en reportant dans la deuxième ligne du système on obtient :

Le discriminant est 

L'équation admet des solutions ssi 

Merci pour l'énigme 
 Posté par 
Rafalore : petit défi  09-06-07 à 09:40
estelle: 
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ok mais est ce que les longueurs sont positives ? Prouve le ?  De plus étudie la cas où le discriminant est nul... 

infophile:  Cliquez pour afficher
Ok mais tes racines du trinome sont elles positives ? assure toi que les longueurs ne soient pas négatives ....  
 Posté par 
infophilere : petit défi  09-06-07 à 10:06
Bonjour 

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Déjà la racine  est positive.

Mais celle-ci convient aussi  car en supposant la fraction positive et en élevant au carré on tombe sur  qui est vrai par hypothèse.

Et le dernier cas si  on a carré donc c'est OK aussi.

Donc finalement la condition  est nécessaire et suffisante.

 Posté par 
Rafalore : petit défi  09-06-07 à 10:13
ok pour la justification infophile  

(une question: j'ai des autres petits défis intéressant mais je ne sais pas  les résoudre de manière correct, crois tu que je devrais les poser ? )
 Posté par 
infophilere : petit défi  09-06-07 à 10:15
Oui l'avantage des JFF c'est qu'elles n'ont rien d'officielles et donc même s'il y a des erreurs d'énoncé ou que tu n'ais pas la réponse exacte on peut toujours s'amuser à chercher et personne ne t'en voudra 
 Posté par 
Rafalore : petit défi  09-06-07 à 10:18
très bien je sens qu'on va s'amuser... 
 Posté par 
infophilere : petit défi  09-06-07 à 10:20
Si tu as des limites je suis preneur 

Mais bon moi pas avant une semaine, faut que je révise...
 Posté par 
Rafalore : petit défi  09-06-07 à 10:21
ok on verra ca.... 

allez bonne révision et surtout bonne réusite 

a+
 Posté par 
infophilere : petit défi  09-06-07 à 10:23
Merci à toi aussi 
  Posté par 
_Estelle_re : petit défi  10-06-07 à 09:38
Je suis preneuse pour tes défis, Rafalo 

Estelle