On écrit
la décomposition en facteurs premiers de n, avec
_i)
strictement croissante.
d
1 est le plus petit diviseur de n, c'est à dire 1.
d
2 est le plus petit diviseur suivant de n, c'est à dire p
1, car il est inférieur à tout diviseur de n différent de 1.
Pour d
3 il y a deux possibilités :
* soit
* soit
Il n'y a pas d'autre possibilités car p
2 est inférieur à tout diviseur de n qui ne soit pas une puissance de p
1 et
est inférieur à toute puissance de p
1 égale ni à 1 ni à p
1.
Pour d
4 il faut déjà distinguer suivant la valeur de d
3 :
* si
, d
4 vaut soit
, soit p
2 pour les mêmes raisons que précédemment.
* si
, d
4 vaut soit
, soit p
3 car p
3 est inférieur à tout diviseur premier de n autre que ceux déjà cités, et
est inférieur à tout diviseur non premier (et différent de 1) de n.
Étudions les différents cas :
*
=(1,p_1,p_1^2,p_1^3))
est impossible car p
1 devrait diviser
.
* pour
=(1,p_1,p_1^2,p_2))
et
=(1,p_1,p_2,p_1^2))
, on a
.
p
1 ne peut pas être impair, car n serait alors pair, par conséquent p
1=2.
On a ainsi
et p
2 divise 21 donc vaut 3 ou 7.
En essayant les deux possibilités, aucune ne donne de solution.
* pour
=(1,p_1,p_2,p_3))
, on a
.
Comme précédemment, p
1=2, mais
)
étant les plus petits diviseurs de n, on a
ce qui est impossible.
Finalement,
il n'y a aucune solution.
Sauf erreur
Merci pour l'énigme
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